Encontre os valores de b > 0 para os quais y(x) = e^(6x) * cos(bx) satisfaz a equação y'' - 12y' + 45y = 0

Passo 1

Vamos lá, essa questão quando a gente inicia a leitura dela parece algo absurdamente tenso que devemos fazer, mas calmaaaaa!! Você vai ver que a gente vai tirar isso de letra.

O problema pede pra gente encontrar os valores de b que satisfaçam a equação diferencial ali do lado, que se você perceber tem uma derivada segunda de y, uma derivada primeira e a própria função de y.

Então a gente vai precisar calcular essas derivadas da função y e depois substituir na equação e obter o valor de b .

Passo 2

Olha que maravilha heinnn! Vamos ter que aplicar a regra do produto na nossa função, certo? Afinal ela é composta de duas funções. A regra do produto diz o seguinte:

f x g x ' = f ' x g x + f x g ' x

Quem seria a f ( x ) e g ( x ) ? Nesse caso, podemos chamar f x = e 6 x e g x = c o s ⁡ ( b x )

Bem, a f ' ( x ) a gente sabe fazer ela direto, porque é uma função exponencial e a regrinha que usamos é:

f x = e u

f ' x = d u   e u

Então temos que f ' x = 6   e 6 x

Passo 3

Por sua vez, a derivada de g x = c o s ⁡ ( b x ) precisa aplicar a regra da cadeia, que basicamente é derivamos a função mais externa (mantendo a função interna) e multiplicamos pela derivada da função interna.

Nesse caso, quem é a função externa ou a função “de fora”? Cosseno!

g ' x = - s e n b x d d x b x

g ' x = - b s e n ( b x )

Logo, nossa primeira derivada y ' é:

y ' = f ' x g x + f x g ' x

y ' = 6 e 6 x cos ⁡ b x - b s e n b x e 6 x

Vamos ter que derivar mais uma vez, beleza? Só que agora se você observar, vamos aplicar duas vezes a regra do produto, pois temos uma primeira parte que é 6 e 6 x cos ⁡ b x e uma segunda parcela que é b s e n b x e 6 x .

Passo 4

Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia na primeira parte, temos:

6 e 6 x cos ⁡ b x ' = d d x 6 e 6 x cos ⁡ b x + 6 e 6 x d d x cos ⁡ b x

d d x 6 e 6 x cos ⁡ b x + 6 e 6 x d d x cos ⁡ b x = 36 e 6 x cos ⁡ b x - 6 b e 6 x s e n b x

Logo:

6 e 6 x cos ⁡ b x ' = 36 e 6 x cos ⁡ b x - 6 b e 6 x s e n b x

A segunda parte é:

b s e n b x e 6 x ' = b d d x s e n b x e 6 x + b s e n b x d d x e 6 x

d d x s e n b x e 6 x + b s e n b x d d x e 6 x = x cos ⁡ b x e 6 x + 6 b s e n b x e 6 x

Com isso, temos que

y ' ' = 36 e 6 x cos ⁡ b x - 6 b e 6 x s e n b x - x cos ⁡ b x e 6 x + 6 b s e n b x e 6 x

Simplificando temos:

y ' ' = 36 e 6 x cos ⁡ b x - x cos ⁡ b x e 6 x - 6 b e 6 x s e n b x - 6 b s e n b x e 6 x

Passo 5

Agora que temos as derivadas de primeira e segunda ordem, substituindo na equação diferencial y ' ' - 12 y ' + 45 y = 0 , temos:

36 e 6 x cos ⁡ b x - x cos ⁡ b x e 6 x - 6 b e 6 x s e n b x - 6 b s e n b x e 6 x - 12 6 e 6 x cos ⁡ b x - b s e n b x e 6 x + 45 e 6 x cos ⁡ b x = 0

36 e 6 x cos ⁡ b x - x cos ⁡ b x e 6 x - 6 b e 6 x s e n b x - 6 b s e n b x e 6 x - 72 e 6 x cos ⁡ b x + 12 b s e n b x e 6 x + 45 e 6 x cos ⁡ b x = 0

Vou fazer agora o seguinte, juntar os termos de c o s ⁡ ( b x ) e s e n ( b x ) de forma separada pra ficar mais organizado, beleza? E no final a gente vai juntar tudo

36 e 6 x cos ⁡ b x - x cos ⁡ b x e 6 x - 72 e 6 x cos ⁡ b x + 45 e 6 x cos ⁡ b x

e 6 x cos ⁡ b x [ 36 - x - 72 + 45 ]

Agora os termos de s e n ( b x )

- 6 b e 6 x s e n b x - 6 b s e n b x e 6 x + 12 b s e n b x e 6 x = 0

Portanto, temos ao final que:

e 6 x cos ⁡ b x 36 - x - 72 + 45 = 0

cos ⁡ b x = 0

Passo 6

cos ⁡ b x = 0

Para que esse valor seja zero, o argumento do cosseno tem que ser igual a π 2 , 3 π 2 , 5 π 2 , 7 π 2 , …  

Note então que cos(bx) vai ser igual a zero quando b x = ( 2 n - 1 ) π 2 , portanto temos:

b x = 2 n - 1 π 2

b = 2 n - 1 π x 2

Resposta

b = 2 n - 1 π x 2

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