UFSC – Cálculo 1 – Lista 2.10 - Derivadas de ordens superiores – P5
Encontre os valores de para os quais satisfaz a equação
Passo 1
Vamos lá, essa questão quando a gente inicia a leitura dela parece algo absurdamente tenso que devemos fazer, mas calmaaaaa!! Você vai ver que a gente vai tirar isso de letra.
O problema pede pra gente encontrar os valores de b que satisfaçam a equação diferencial ali do lado, que se você perceber tem uma derivada segunda de y, uma derivada primeira e a própria função de y.
Então a gente vai precisar calcular essas derivadas da função e depois substituir na equação e obter o valor de .
Passo 2
Olha que maravilha heinnn! Vamos ter que aplicar a regra do produto na nossa função, certo? Afinal ela é composta de duas funções. A regra do produto diz o seguinte:
Quem seria a e ? Nesse caso, podemos chamar e
Bem, a a gente sabe fazer ela direto, porque é uma função exponencial e a regrinha que usamos é:
Então temos que
Passo 3
Por sua vez, a derivada de precisa aplicar a regra da cadeia, que basicamente é derivamos a função mais externa (mantendo a função interna) e multiplicamos pela derivada da função interna.
Nesse caso, quem é a função externa ou a função “de fora”? Cosseno!
Logo, nossa primeira derivada é:
Vamos ter que derivar mais uma vez, beleza? Só que agora se você observar, vamos aplicar duas vezes a regra do produto, pois temos uma primeira parte que é e uma segunda parcela que é .
Passo 4
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia na primeira parte, temos:
Logo:
A segunda parte é:
Com isso, temos que
Simplificando temos:
Passo 5
Agora que temos as derivadas de primeira e segunda ordem, substituindo na equação diferencial temos:
Vou fazer agora o seguinte, juntar os termos de e de forma separada pra ficar mais organizado, beleza? E no final a gente vai juntar tudo
Agora os termos de
Portanto, temos ao final que:
Passo 6
Para que esse valor seja zero, o argumento do cosseno tem que ser igual a
Note então que cos(bx) vai ser igual a zero quando , portanto temos: