Regras de Derivação I
Considere . Sejam e pontos no domínio tais que as retas tangentes ao gráfico da nestes pontos sejam paralelas. Mostre que o valor da soma independe da escolha dos pontos e calcule este valor.
Passo 1
Vamos começar achando a derivada de , já que estamos trabalhando com inclinação de reta tangente, lembrando que os coeficientes angulares dessas retas (a inclinação) vale a derivada da função no ponto.
Se dois pontos de um gráfico tem as retas tangentes paralelas entre si significa que elas tem um mesmo coeficiente angular e, pontanto, as derivadas da função nesses pontos é a mesma.
Assim, , onde seria uma inclinação qualquer da reta. Logo, para descobrir e nós temos que resolver a seguinte equação
Passo 2
Agora o enunciada não pediu esses dois valores de e sim sua soma. Na verdade, sem conhecer essa inclinação nós nem conseguiríamos achar os valores de e . O detalhe é que, através de um artifício que você deve ter aprendido no ensino médio nós conhecemos a solução da soma das soluções de . Lembra que se tivéssemos uma equação do segundo grau qualquer dada por
Temos que
Dessa forma, se nossa equação é
A soma de suas soluções será:
Logo, notamos que, de fato, essa soma independe da escolha dos pontos e da inclinação que se quer estudar.