UnB. Cálculo 1. Lista 5 - Retas Tangentes e Derivadas. Questão 11.
11) No instante horas um veículo está quilômetros à leste de um ponto de referência na estrada.
(a) Qual a velocidade no instante ? Nesse instante, o veículo está se afastando ou se aproximando do ponto de referência?
(b) Onde está o veículo quanto a velocidade é zero?
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nessa questão, foi dada uma função que vamos chamar de , onde nessa função é expressada a posição de um veículo com relação ao tempo.
Foi dito também que o veículo está à leste do ponto de referência, em um plano cartesiano, isso significaria que o veículo está sob o semieixo positivo de .
A questão pede para calcularmos a velocidade e a direção do movimento do veículo no instante . Mas como vamos calcular isso se a questão só nos deu a função que descreve o movimento?? 🤔🤔
resulta em um valor em metros. Vemos em física que a derivada de uma função que descreve a posição de um objeto resulta em sua velocidade instantânea. Ou seja, se derivarmos vamos encontrar a função que nos dará a velocidade instantânea do nosso veículo.
Entendeu? Bora calcular essa função!
Passo 2
Derivando , temos
Lembre que a derivada da soma é iguala soma das derivadas, logo
Vamos calcular uma de cada vez para facilitar a visualização do que estamos fazendo
Primeiro calculamos
A constante pode sair fora da derivada e podemos escrever o radical como potência, veja só.
Calculando a derivada pela propriedade “derruba a potência e subtrai dela”
Ou então
Entendeu?
Passo 3
Vamos calcular a outra derivada
Partindo da mesma propriedade, temos
Como , então
A ultima derivada é dada por
Como sabemos, a derivada de uma constante é igual a , então
Substituindo esses resultados em , temos
Ou seja, a função que descreve a velocidade do veículo, é
Bacana, não é?
Passo 4
No item a) queremos saber a velocidade do veículo no instante , pra isso substituímos por em .
Veja só
A raiz de é igual a , logo
Por esse sinal de menos estar aí, tendemos a imaginar que o veiculo está se afastando, não é?
Mas lembre-se que ele está à leste, ou seja, se ele se desloca a ele está indo no sentido contrário de no plano cartesiano, logo ele está se aproximando da origem e do ponto de referência!
Ou seja, a resposta é que ele está a se aproximando. 😉
Entendeu?
Passo 5
No item b) queremos saber onde está o veículo no momento em que sua velocidade é .
Podemos pensar o seguinte: se expressa a velocidade, podemos faze-la ser igual a e ver para qual valor de a equação é satisfeita. Concorda?
Com isso, obtemos a equação
Passando o para o outro lado com o sinal trocado, temos
Vamos isolar em um lado da equação
Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz de , temos
Vemos que o momento em que o veículo atinge a velocidade , é no instante .
Para obter sua posição neste instante, vamos substituir por em .
Com isso, vemos que
O veículo está a do ponto de referência
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
a) O veículo está a se aproximando.
b) O veículo está a do ponto de referência.