UFCG; Cálculo 1; Lista-1; Limites e continuidade; questão 13b
Calcule o limite abaixo
Passo 1
Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Dessa vez precisamos calcular um limite. Mas é um limite especial, pois queremos o limite para quando vale infinito ou menos infinito. Como fazemos esse cálculo? Bem, vamos dar uma revisadinha? Bora!
Bem, quando estamos querendo saber o valor de um limite, nós queremos saber como a função se comporta ao redor de um certo ponto, mas nesse caso, estamos querendo saber o comportamento da função para valores cada vez maiores ou menores, o que queremos com isso é o comportamento assintótico da função, isto é, se nos infinitos ela converge para alguma constante ou diverge (vai para mais ou menos infinito) . Ou seja, quando fazemos essa análise, só estaremos interessados nos termos de potência maior, ou nos termos que crescem mais rápidos dentro da nossa função. Uma maneira de saber a ordem de crescimento das funções é lembrar da tabelinha abaixo. Nela, as funções aparecem em ordem crescente com relação a velocidade de crescimento. Isto é, quanto mais a direita, mais rápido cresce.
Essa tabelinha será útil quando estivermos trabalhando com funções da forma
Bacana, né? Vamos resolver a questão!!!
Passo 2
Queremos calcular,
Como comentamos no passo 1, o termo que vai ditar esse limite será o que tem maior crescimento, que nesse caso é o , mas ele está no denominador e no numerador. Então, já podemos afirmar que esse limite será uma constante, mas vamos verificar o porquê disso.
Usando a linearidade do limite
No caso do segundo fator dessa soma, podemos usar a nossa tabelinha do passo 1 e verificar que o denominador cresce mais rápido que o numerador, logo esse fator convergir para zero quando . Então temos que
colocando em evidência
Simplificando, temos
Como converge para zero quando vai para infinito, podemos concluir que
Ou seja, chegamos a conclusão que
Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊