Calcule

j ) lim x → -  ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x

Passo 1

Oii gente linda, tudo bem com vocês?? Bora pra mais um?

Hoje vamos tentar solucionar o seguinte limite:

lim x → -  ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x

Para começo de conversa devemos pensar em que estratégia poderiam ser utilizadas aqui uma vez que o nosso x → - ∞ e que temos também a presença de uma raiz quadrada. O que vocês me dizem?

Passo 2

Antes de mais nada, vamos substituir x =   - ∞ e ver se já obtemos algum resultado ou indeterminação.

lim x → -  ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x =   lim x → -  ∞ ⁡ - ∞ + ( - ∞ ) 2 + 2 ( - ∞ )

= lim x → -  ∞ ⁡ - ∞ + ∞ - ∞

Então logo ali já temos uma indeterminação!!! Não é possível concluir se ∞ - ∞ é zero ou infinito. Temos que pensar em uma outra forma de resolução.

Passo 3

Bom como temos uma raiz quadrada e normalmente é super chatinho trabalhar com raiz quadrada logo de cara. Vamos multiplicar a nossa expressão matemática pelo seu respectivo conjugado.

lim x → -  ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x ⋅ x - x 2 + 2 x x - x 2 + 2 x

=   lim x → -  ∞ ⁡ x 2 - x 2 - 2 x x - x 2 + 2 x

=   lim x → -  ∞ ⁡ - 2 x x - x 2 + 2 x

Agora vamos colocar em evidência o x de maior potência, isso porque como o nosso x   vai para o - ∞ muitos termos poderão ser zerados. Já que qualquer número divido por um número infinito sempre será zero.

Além disso, devemos lembrar também que como x →   - ∞ :

x 2 = - x

Voltando para as continhas....

=   lim x → -  ∞ ⁡ - 2 x x + x 1 + 2 x

lim x → -  ∞ ⁡ - 2 x x 1 + 1 + 2 x

= lim x → -  ∞ ⁡ - 2 1 + 1 + 2 x

Passo 4

Substituindo x   por - ∞ :

= lim x → -  ∞ ⁡ - 2 1 + 1 + 2 - ∞

= lim x → -  ∞ ⁡ - 2 1 + 1

= - 2 2

= - 1

Tranquilidade? Maravilha

Vamos continuar as questões então. 😊

Resposta

- 1

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