Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 x + 2 … ( x + 10 ) x 2 + 1 5

Passo 1

Fazer a distributiva com todos os termos do numerador e abrir o polinómio debaixo daria um trabalho imenso. Podemos simplificar esse trabalho, pois sabemos de forma geral o que encontraríamos se fizéssemos isso;

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 x + 2 … ( x + 10 ) x 2 + 1 5 = lim x → + ∞ ⁡ x 10 + a x 9 + b x 8 + … + K x 10 + α x 8 + β x 6 + γ x 4 + δ x 2 + 1

Onde a ,   b , … ,   α , β , γ , δ são coeficientes numéricos inteiros.

Passo 2

Agora é possível ver que o limite se trata de um quociente de funções com x → ∞ . Assim, sabemos que para resolvê-lo temos que dividir tudo pelo termo de maior grau, que nesse caso é x 10 .

lim x → + ∞ ⁡ x 10 x 10 + a x 9 x 10 + b x 8 x 10 + … + K x 10 x 10 x 10 + α x 8 x 10 + β x 6 x 10 + γ x 4 x 10 + δ x 2 x 10 + 1 x 10 =

lim x → + ∞ ⁡ 1 + a x + b x ² + … + K x 10 1 + α x ² + β x 4 + γ x 6 + δ x 8 + 1 x 10 = 1 + a ∞ + b ∞ ² + … + K ∞ 10 1 + α ∞ ² + β ∞ 4 + γ ∞ 6 + δ ∞ 8 + 1 ∞ 10 = 1 + 0 + 0 + … + 0 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1 1 = 1

Resposta

1

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