8) Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 3 x + 2  

Passo 1

Fala gente bonita, bora matar esse limite!

Essa questão tem uma pegadinha. Se, logo de cara, a gente tentar colocar o x em evidência na raiz, não conseguiremos calcular o limite, vamos ver como ficaria:

lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 3 x + 2   =   lim x → - ∞ ⁡ x + | x | 1 + 3 x + 2 x 2  

O problema é que a gente ainda não consegue resolver bem isso por causa do x em módulo. É como se estivéssemos fazendo - ∞ + ∞ , só que essas operações com infinitos são indeterminadas matematicamente, não podemos simplesmente dizer que isso vale zero.

Passo 2

Vamos ter que pensar em outra ideia então. Algo legal que podemos fazer é tentar tirar a raiz, fazendo um processo inverso da racionalização.

x + x 2 + 3 x + 2 =   x + x 2 + 3 x + 2 ⋅ x - x 2 + 3 x + 2 x - x 2 + 3 x + 2 = x 2 - x 2 - 3 x - 2 x - x 2 + 3 x + 2

=   - 3 x - 2 x - x 2 + 3 x + 2  

Agora sim, podemos colocar o x em evidência (com atenção à troca de sinal na raiz do denominador) e cancelá-lo no numerador e denominador:

- 3 x - 2 x - x 2 + 3 x + 2 = x - 3 - 2 x x 1 + 1 + 3 x + 2 x 2 = - 3 - 2 x 1 + 1 + 3 x + 2 x 2

Passo 3

Bom, agora é só correr pro abraço. Vamos aplicar o limite e finalizar a questão:

lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 3 x + 2   =   lim x → - ∞ ⁡ - 3 - 2 x 1 + 1 + 3 x + 2 x 2 =   - 3 - 0 1 + 1 + 0 + 0 =   - 3 2  

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 3 x + 2   =   - 3 2

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