Calcule os limites abaixo, caso existam.

a ) lim x → + ∞ ⁡ 1 x ln ⁡ 1 + 3 x

Passo 1

Faaaaala povo bonito do Responde Aí, tudo na paz por aí?

Nessa questão precisamos calcular o limite:

lim x → + ∞ ⁡ 1 x ln ⁡ 1 + 3 x

O primeiro passo em questões de limites é sempre substituir x pelo valor que ele está tendendo, mas como aqui x está tendendo a vamos buscar uma solução que deixe as coisas um pouquinho mais concretas matematicamente pra gente, beleza?

Podemos ver que temos o produto de duas funções. Sendo assim, podemos usar uma propriedade muito legal dos limites que diz que:

lim x → x 0 ⁡ f ⋅ g = lim x → x 0 ⁡ f ⋅ lim x - x 0 ⁡ g

Essa propriedade é válida se, e somente se, ambos os limites existirem e forem finitos.

Assim, vamos ter:

lim x → + ∞ ⁡ 1 x ln ⁡ 1 + 3 x = lim x → + ∞ ⁡ 1 x ⋅ lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 3 x

Mas, isso só é verdade se ambos os limites existirem.

Portanto, vamos calcular cada um desses limites separadamente e, se eles existirem, aplicamos essa propriedade.

Vamo nessa?!

Passo 2

Vamos começar com:

lim x → + ∞ ⁡ 1 x

Quando x → ∞ , vamos ter que o denominador tende a e o numerador é constante. Logo:

lim x → + ∞ ⁡ 1 x = 0

Logo, o primeiro limite existe, é finito e vale 0 .

Analisando agora:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 3 x

Quando x → ∞ , o termo 3 x irá tender a 0 .

Assim:

ln ⁡ 1 + 3 x ~ ln ⁡ 1

Ou seja:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 3 x = ln ⁡ 1 = 0

Olha que legal, esse segundo limite também vale zero. Ou seja, existe, é finito e vale zero.

Portanto, aquela propriedade do produto é válida. Daí, vamos ter:

lim x → + ∞ ⁡ 1 x ln ⁡ 1 + 3 x = lim x → + ∞ ⁡ 1 x ⋅ lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 3 x

= 0 ⋅ 0

Ou seja:

lim x → + ∞ ⁡ 1 x ln ⁡ 1 + 3 x = 0

Prontinho, terminamos mais umaaa questãozinha 😊

É isso galera, valeeeu 😊

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ 1 x ln ⁡ 1 + 3 x = 0

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