Calcule os limites abaixo:

(b) lim x → + ∞ ⁡ x 2 tan ⁡ B x 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função x 2 tan ⁡ B x 3 , quando x tende a mais infinito pela direita, ou seja, tende a infinito por valores positivos.

Pra isso, vamos tentar manipular um pouco nossa expressão, para transformá-la em um quociente, conseguir usar a regra de L’Hospital e encontrar o valor do nosso limite.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar escrever a tangente como o quociente de seno e cosseno:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 tan ⁡ B x 3 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 sin ⁡ B x 3 cos ⁡ B x 3

Sabendo que o limite da divisão é igual a divisão dos limites, temos:

l i m x → + ∞ x 2 sin ⁡ B x 3 l i m x → + ∞ cos ⁡ B x 3

Passo 3

Calculando primeiro o limite do numerador, vamos ter:

l i m x → + ∞ x 2 sin ⁡ B x 3

Vamos escrever esse limite como um quociente também:

l i m x → + ∞ sin ⁡ B x 3 1 x 2  

Então, aplicando a regra de L’Hospital (derivando numerador e denominador separadamente), temos:

l i m x → + ∞ - 3 cos ⁡ B x 3 x 4 - 2 x 3  

Simplificando:

l i m x → + ∞ 3 cos ⁡ B x 3 2 x

= 3 2 l i m x → + ∞ cos ⁡ B x 3 ∙ l i m x → + ∞ 1 x  

Aplicando o limite, vamos obter:

3 2 ∙ 1 ∙ 0 = 0

Então, voltando ao limite do passo 2 , com os resultados que obtivemos, temos:

l i m x → + ∞ x 2 sin ⁡ B x 3 l i m x → + ∞ cos ⁡ B x 3 = 0 1 = 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

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