UFSC – 2018.1 – P1
Seja
Então
É igual a:
Não é necessário justificativa.
Passo 1
Galera, bora para mais uma questão sobre limite! O que queremos é calcular esse limite aqui:
Só de olhar, vamos ver que temos tanto no numerador quanto no denominador. Então vamos colocar ele em evidência?
Agora podemos cortar o no numerador e no denominador simplificando essa conta:
Passo 2
Você concorda comigo que podemos aplicar o limite dentro das parcelas dessa conta? Veja:
Agora em vez de ter que calcular o limite de uma função muito grande e doida, temos 3 limites pequenininhos. Melhor ne?
Vamos fazer esses limites separadamente, se aplicarmos o valor de nos limites:
Como nos dois últimos casos, temos uma divisão entre dois valores de , ou seja, uma indeterminação, podemos aplicar a técnica do L’Hospital!
Passo 3
Aplicando L’Hospital, derivamos o numerador e o denominador:
Se aplicarmos novamente o valor do limite, chegaremos novamente a:
Vamos aplicar novamente a técnica de L’Hospital:
Mas isso só vai acabar quando chegarmos a não ter nenhum no numerador, concorda? Então temos que derivar o numerador mais 8 vezes (totalizando 10 derivações ), assim, teremos no numerador isso aqui:
Agora que não tem no numerador, não vai ter no numerador, olha:
E isso também ocorre com aquele segundo limite. Pra resolver ele, vamos derivar 9 vezes, porque o está elevado a 9:
Passo 4
Substituindo esses limites no nosso limite inicial:
Agora só temos que fazer essa continha bem simples!
O denominador será igual a :
Então no final o limite é igual a:
Chegamos no final, pessoal, viu foi tranquilo!
Resposta
Letra “d”