Calcule o limite:

lim x → ∞ ⁡ 3 x 4 x 2 + 7

Passo 1

Temos a divisão entre dois polinômios com x indo para , aqui vamos usar um truque, vamos colocar em evidência o x de maior grau do numerado e depois fazemos a mesma coisa com o denominador, não entendeu nada? Vamos pegar a fração e fazer isso com calma

3 x 4 x 2 + 7

O numerador não tem nada para por em evidência, então vamos deixar quieto.

Agora para o denominador, aqui temos um polinômio dentro de uma raiz, então vamos pensar no polinômio dentro da raiz, qual o maior grau dele? 2 né? Vamos colocar x 2 em evidência no denominador

3 x 4 x 2 + 7 = 3 x x 2 4 + 7 x 2 = 3 x x 2 4 + 7 x 2

Como o valor de x está indo para + ∞ , x > 0 então x 2 = x

3 x x 2 4 + 7 x 2 = 3 x x 4 + 7 x 2

Agora vamos simplificar os valores de x

3 x x 4 + 7 x 2 = 3 4 + 7 x 2

Beleza, arrumamos a fração, mas porque diabos fizemos isso?

Repara que o limite de um número qualquer divido por x n vai para SEMPRE para 0 , porque? Olha para isso

lim x → ∞ ⁡ a x n = a ∞ = 0

Isso vai zerar muita gente e sobrar pouca coisa, vamos ver como fica o limite

Passo 2

Vamos voltar para o limite, trocando a fração por aquela arrumada que demos

lim x → ∞ ⁡ 3 x 4 x 2 + 7 = lim x → ∞ ⁡ 3 4 + 7 x 2

Usando as propriedades de limites, o limite vai ficar

lim x → ∞ ⁡ 3 4 + 7 x 2 = 3 4 + 0 = 3 4 = 3 2

Então chegamos numa conta de boa de fazer, esse limite vai ser , sacou a marotagem desse tipo de questão? Isso serve tanto para + ∞ quanto para - ∞ não importa aquela divisão a x n vai para 0 nos dois casos.

Resposta

3 2

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