Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.

b) lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 5   2 x - 2

Passo 1

Faaaaala, galeeeera! Tudo belezinha?

Nessa questão vamos ter que calcular limites de funções apresentadas no enunciado. Os limites nada mais são que uma forma de analisar o comportamento de uma função à medida em que seu argumento se aproxima de um dado valor. Nessa questão nosso limite tende a infinito, mas não se assuste. A análise é mais simples do que parece. Vamos nessa?

Primeiro vamos ver se temos uma indeterminação

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 5   2 x - 2 = ∞ ∞

Temos a indeterminação ∞ ∞ quando substituímos diretamente o valor para o qual a função está tendendo. Então precisamos reescrever esta função para que não tenha mais indeterminação.

Bom, primeiramente podemos reescrever o limite. Usando a seguinte propriedade.

lim x → a ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → a ⁡ f ( x ) lim x → a ⁡ g ( x )

Veja só:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 5   2 x - 2 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 5   lim x → + ∞ ⁡ 2 x - 2

Passo 2

O segundo passo vai ser simplificar essa nova expressão. Para isso vamos dividir tudo por x , ou seja, pela maior potência da expressão.

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 5   lim x → + ∞ ⁡ 2 x - 2 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 5 x   lim x → + ∞ ⁡ 2 x - 2 x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 5 x   lim x → + ∞ ⁡ 2 - 2 x

O resultado será

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 5 x   lim x → + ∞ ⁡ 2 - 2 x = 1 2

Até a próxima!

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 5   2 x - 2 = 1 2

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