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Exercícios Resolvidos de Quociente de Funções com x → Infinito

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Enunciado

IME, Álgebra Linear 1, 2020, VC, Q1A

Determine:

  1. lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 arccos ⁡ x 2 x 2 + 1

  2. lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 5 - cos ⁡ x 3 x 2  

Passo 1

Faaala pessoal, vamos adaptar o limite para conseguirmos aplicar os limites fundamentais que conhecemos.

L = lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 arccos ⁡ x 2 x 2 + 1

Vamos nos livrar do arco-cosseno, substituindo:

arccos ⁡ x 2 x 2 + 1 = u → 0 +

Uma vez que x 2 x 2 + 1 → 1 - e definindo u ≥ 0   a fim de garantir biunivocidade. Repare ainda que:

cos ⁡ u = x 2 x 2 + 1 ⇒ cos ⁡ u = 1 - 1 x 2 + 1 ⇒

⇒ 1 x 2 + 1 = 1 - cos ⁡ u ⇒ x 2 + 1 = 1 1 - cos ⁡ u  

Logo, o nosso limite passa a ser:

L = lim u → 0 + ⁡ 1 1 - cos ⁡ u u

= lim u → 0 + ⁡ 1 1 - cos ⁡ u ⋅ 1 + cos ⁡ u 1 + cos ⁡ u u

= lim u → 0 + ⁡ 1 + cos ⁡ u 1 - cos 2 ⁡ u u

= lim u → 0 + ⁡ 1 + cos ⁡ u u ⋅ lim u → 0 + ⁡ 1 sin 2 ⁡ u u         ( p r o d u t o )

= 2 0 ⋅ lim u → 0 + ⁡ 1 sin 2 ⁡ u u

= lim u → 0 + ⁡ 1 sin 2 ⁡ u u

Passo 2

Agora, usaremos o truque de aplicar que x = e x p ⁡ ( ln ⁡ x ) para argumentos positivos. O que podemos fazer para sin ⁡ u , com u → 0 + . Assim:

L = lim u → 0 + ⁡ e x p ⁡ [ - 2 u ⋅ ln ⁡ sin ⁡ u ]

= lim u → 0 + ⁡ exp ⁡ - 2 ⋅ sin u  ln ⁡ sin ⁡ u ⋅ u sin ⁡ u  

Primeiramente, como e x é uma função contínua para todo real, podemos passar o limite para dentro do argumento sem problemas:

L = exp ⁡ - 2 lim u → 0 + sin u ln ⁡ sin ⁡ u ⋅ u sin ⁡ u =

= exp ⁡ - 2 lim u → 0 + sin u ln ⁡ sin ⁡ u ⋅ l i m u → 0 + u sin ⁡ u  

O segundo limite é de fácil resolução, uma vez que x - 1   é   contínua para x > 0 , passamos o limite para dentro do argumento tal que:

l i m u → 0 + u sin ⁡ u = l i m u → 0 +   sin ⁡ u u - 1 = 1 - 1 = 1           ( l i m .   f u n d . )

Enquanto isso o primeiro limite pode ser adaptado, tomando

sin ⁡ u = 1 t ,       c o m   t → + ∞

Tal que:

lim u → 0 + ⁡ sin ⁡ u ln ⁡ sin ⁡ u = lim t → ∞ ⁡ 1 t ln ⁡ 1 / t = - lim t → ∞ ⁡ 1 t ln ⁡ t = 0         ( l i m .   f u n d . )

Uma vez que o crescimento polinomial é maior que o logarítmico. Em suma, temos:

L = exp ⁡ - 2 ⋅ 0 ⋅ 1 = e 0 = 1

Logo,

L = lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 arccos ⁡ x 2 x 2 + 1 = 1

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 arccos ⁡ x 2 x 2 + 1 = 1

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