Calcule os limites abaixo, caso existam.

b ) lim x → ∞ ⁡ e x + x 1 x

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo beleza com vocês?

Nessa questão precisamos calcular o seguinte limite:

lim x → ∞ ⁡ e x + x 1 x

O primeiro passo nas questões de limite é sempre substituir o valor que x está tendendo. Assim, teríamos algo do tipo:

lim x → ∞ ⁡ e x + x 1 x ~ e ∞ + ∞ 1 ∞

Puts, isso não ajuda muito a gente. A base está indo pra infinito, mas o expoente está indo pra zero!

Precisamos de outra técnica pra resolver isso daí!

Um truque super legal e que vale muito a pena ter bem guardado na memória, é usar o artifício do exponencial.

Basicamente a ideia é aplicar o l n no nosso limite, realizar algumas propriedades que nos ajudem e depois aplicar a exponencial novamente, voltando ao nosso limite original.

Vem comigo que vamos ver essa técnica bem direitinho 😊

Passo 2

Se o limite:

lim x → ∞ ⁡ e x + x 1 x

existe e é finito, podemos dizer que:

lim x → ∞ ⁡ e x + x 1 x = L

Assim, aplicando o l n dos dois lados da expressão, temos:

ln ⁡ L = ln ⁡ lim x → ∞ ⁡ e x + x 1 x

Mas, pela propriedade do limite de funções logarítmicas:

lim x → x 0 ⁡ ln ⁡ f ( x ) = ln ⁡ lim x - x 0 ⁡ f ( x )

Temos:

ln ⁡ lim x → ∞ ⁡ e x + x 1 x = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ e x + x 1 x

ln ⁡ L = lim x → ∞ ⁡ 1 x ln ⁡ e x + x

Daí, aplicando a exponencial dos dois lados da equação para voltarmos a L , temos:

L = e lim x → ∞ ⁡ 1 x ⋅ ln ⁡ e x + x

Ficamos com:

L = e lim x → ∞ ⁡ 1 x ⋅ ln ⁡ e x + x  

Olha aí, precisamos apenas calcular:

lim x → ∞ ⁡ 1 x ⋅ ln ⁡ e x + x

Muito bom galera!

Passo 3

Agora precisamos calcular:

lim x → ∞ ⁡ 1 x ⋅ ln ⁡ e x + x

= lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ e x + x x

Novamente, o primeiro passo é substituir o valor que x está tendendo dentro da nossa expressão. Fazendo isso, vemos que ficamos com:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ e x + x x = ∞ ∞

Ou seja, uma indeterminação. Para resolver esse probleminha podemos usar o teorema de L’hopital. Assim:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ e x + x x = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ e x + x ' x '

Vamos então calcular essas derivadas:

d ln ⁡ e x + x d x = d ln ⁡ e x + x d ( e x + x ) ⋅ d e x + x d x

Chamando e x + x de u , vamos ter no primeiro termo temos:

d ln ⁡ u d ( u ) = 1 u = 1 e x + x

Já no segundo termo, usando que a derivada da soma é a soma das derivadas, ficamos com:

d e x + x d x = e x + 1

Daí, teremos:

d ln ⁡ e x + x d x = e x + 1 e x + x

= e x e x + x + 1 e x + x

Logo:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ e x + x x = lim x → ∞ ⁡ e x e x + x + lim x → ∞ ⁡ 1 e x + x

Perfeito!

Vamos então resolver cada um desses limites individualmente.

Passo 4

Começando por:

lim x → ∞ ⁡ e x e x + x = lim x → ∞ ⁡ 1 1 + x e x

= 1 1 + lim x → ∞ ⁡ x e x

Puts, outro limite complicadinho! Se temos x → ∞ tanto o numerador como o denominador tendem a infinito. Por isso, podemos aplicar L’hopital novamente. Daí:

lim x → ∞ ⁡ x e x = lim x → ∞ ⁡ x ' e x '

= lim x → ∞ ⁡ 1 e x

Agora simmm, quando x → ∞ o denominador também tende a infinito mas o numerador é constante. Logo:

lim x → ∞ ⁡ 1 e x = 0

Assim:

lim x → ∞ ⁡ e x e x + x =   1 1 + lim x → ∞ ⁡ x e x = 1 1 + 0

= 1

Passo 5

Resolvendo agora:

lim x → ∞ ⁡ 1 e x + x

Esse é mais tranquilo, pois o denominador tende a , mas o numerador é constante. Logo:

lim x → ∞ ⁡ 1 e x + x = 0

Excelente! Voltando no nosso limite principal, temos:

L = e lim x → ∞ ⁡ 1 x ⋅ ln ⁡ e x + x  

Mas, como vimos:

lim x → ∞ ⁡ 1 x ⋅ ln ⁡ e x + x = lim x → ∞ ⁡ e x e x + x + lim x → ∞ ⁡ 1 e x + x

= 1 + 0

Portanto:

L = e 1 + 0 = e

Portanto:

lim x → ∞ ⁡ e x + x 1 x = L = e  

Ufaaa! Finalizamos essa questão!

Nossa, deu um trabalhinho, mas também apresentou uma técnica muito legal pra gente.

Sempre bom ter ela em mente, beleza? Valeeeu!

Resposta

lim x → ∞ ⁡ e x + x 1 x = e

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