UFF, Niterói - Praia Vermelha, Cálculo IA, P2 - 2022.2, Questão 3b
Calcule os limites abaixo, caso existam.
Passo 1
Fala aí pessoal, tudo beleza com vocês?
Nessa questão precisamos calcular o seguinte limite:
O primeiro passo nas questões de limite é sempre substituir o valor que está tendendo. Assim, teríamos algo do tipo:
Puts, isso não ajuda muito a gente. A base está indo pra infinito, mas o expoente está indo pra zero!
Precisamos de outra técnica pra resolver isso daí!
Um truque super legal e que vale muito a pena ter bem guardado na memória, é usar o artifício do exponencial.
Basicamente a ideia é aplicar o no nosso limite, realizar algumas propriedades que nos ajudem e depois aplicar a exponencial novamente, voltando ao nosso limite original.
Vem comigo que vamos ver essa técnica bem direitinho 😊
Passo 2
Se o limite:
existe e é finito, podemos dizer que:
Assim, aplicando o dos dois lados da expressão, temos:
Mas, pela propriedade do limite de funções logarítmicas:
Temos:
Daí, aplicando a exponencial dos dois lados da equação para voltarmos a , temos:
Ficamos com:
Olha aí, precisamos apenas calcular:
Muito bom galera!
Passo 3
Agora precisamos calcular:
Novamente, o primeiro passo é substituir o valor que está tendendo dentro da nossa expressão. Fazendo isso, vemos que ficamos com:
Ou seja, uma indeterminação. Para resolver esse probleminha podemos usar o teorema de L’hopital. Assim:
Vamos então calcular essas derivadas:
Chamando de , vamos ter no primeiro termo temos:
Já no segundo termo, usando que a derivada da soma é a soma das derivadas, ficamos com:
Daí, teremos:
Logo:
Perfeito!
Vamos então resolver cada um desses limites individualmente.
Passo 4
Começando por:
Puts, outro limite complicadinho! Se temos tanto o numerador como o denominador tendem a infinito. Por isso, podemos aplicar L’hopital novamente. Daí:
Agora simmm, quando o denominador também tende a infinito mas o numerador é constante. Logo:
Assim:
Passo 5
Resolvendo agora:
Esse é mais tranquilo, pois o denominador tende a , mas o numerador é constante. Logo:
Excelente! Voltando no nosso limite principal, temos:
Mas, como vimos:
Portanto:
Portanto:
Ufaaa! Finalizamos essa questão!
Nossa, deu um trabalhinho, mas também apresentou uma técnica muito legal pra gente.
Sempre bom ter ela em mente, beleza? Valeeeu!