Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.

a) lim x → + ∞ ⁡ 5 x 2 + 2 x + 6 7 x 2 + 3 x + 1

Passo 1

Faaaaala, galeeeera! Tudo belezinha?

Nessa questão vamos ter que calcular limites de funções apresentadas no enunciado. Os limites nada mais são que uma forma de analisar o comportamento de uma função à medida em que seu argumento se aproxima de um dado valor. Nessa questão nosso limite tende a infinito, mas não se assuste. A análise é mais simples do que parece. Vamos nessa?

Primeiro vamos ver se temos uma indeterminação

lim x → + ∞ ⁡ 5 x 2 + 2 x + 6 7 x 2 + 3 x + 1 = ∞ ∞

Temos a indeterminação ∞ ∞ quando substituímos diretamente o valor para o qual a função está tendendo. Então precisamos reescrever esta função para que não tenha mais indeterminação.

Bom, primeiramente podemos reescrever o limite. Usando a seguinte propriedade.

lim x → a ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → a ⁡ f ( x ) lim x → a ⁡ g ( x )

Veja só:

lim x → + ∞ ⁡ 5 x 2 + 2 x + 6 7 x 2 + 3 x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ 5 x 2 + 2 x + 6 lim x → + ∞ ⁡ 7 x 2 + 3 x + 1

Passo 2

O segundo passo vai ser simplificar essa nova expressão. Para isso vamos dividir tudo por x 2 , ou seja, pela maior potência da expressão. Fica ligado nesse truque, porque você pode precisar usar ele várias vezes!

lim x → + ∞ ⁡ 5 x 2 + 2 x + 6 lim x → + ∞ ⁡ 7 x 2 + 3 x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ 5 x 2 x 2 + 2 x x 2 + 6 x 2 lim x → + ∞ ⁡ 7 x 2 x 2 + 3 x x 2 + 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 5 + 2 x + 6 x 2 lim x → + ∞ ⁡ 7 + 3 x + 1 x 2

Quando a gente divide tudo pela maior potência, a gente fica com o numerador e o denominador de um jeito que o resultado não dá mais . Olha só!

O resultado será

lim x → + ∞ ⁡ 5 + 0 + 0 lim x → + ∞ ⁡ 7 + 0 + 0 = 5 7

Até a próxima!

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ 5 x 2 + 2 x + 6 7 x 2 + 3 x + 1 = 5 7

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