1. Calcule o seguinte limite sem usar a regra de L’Hôpital

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 + 2 x + 1 x 2 x 2 + 1

Passo 1

O enunciado da questão pede para resolver esse limite sem usar L’Hôpital, mas isso não é problema, porque é mais fácil resolvê-lo sem usar nosso amigo mesmo.

Temos um polinômio e uma raiz tendendo para o infinito. Para resolver isso, primeiro vamos colocar o x 2 em evidência na raiz, para poder tirar dela.

lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 2 x + 1 x x 2 2 + 1 / x 2

Passo 2

Agora é hora de retirar da raiz, lembrando que x 2 = x e não x .

lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 2 x + 1 x x 2 2 + 1 / x 2 = lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 2 x + 1 x | x | 2 + 1 / x 2

Como x → ∞ , temos que o valor do módulo é justamente x .

Ué, essa volta toda para no final ser tudo x mesmo? Sim! Porque quando for x → - ∞ , você já sabe que terá que usar o x = - x .

Beleza, então vai ficar:

lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 2 x + 1 x | x | 2 + 1 / x 2 = lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 2 x + 1 x 2 2 + 1 / x 2

Passo 3

Agora tratamos tudo como se fosse uma simples divisão de polinômios com x →   ± ∞ , ou seja, dividimos tudo pelo monômio de maior grau, que será x 2 :

lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 2 x + 1 x 2 2 + 1 / x 2 = lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 / x 2 + 2 x / x 2 + 1 / x 2 x 2 2 + 1 / x 2 / x 2

Simplificando:

… = lim x → ∞ ⁡ 3 + 2 / x + 1 / x 2 2 + 1 / x 2

Agora é só usar as propriedades do limite e jogá-lo para dentro da fração:

… = l i m x → ∞ 3 + l i m x → ∞ 2 / x + l i m x → ∞ 1 / x 2 l i m x → ∞ 2 + l i m x → ∞ 1 / x 2 = 3 2

Que foi concluído a partir do fato que:

l i m x → ∞ 2 / x = l i m x → ∞ 1 / x 2 = 0

E que o limite de qualquer constante é a própria constante.

Resposta

lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 2 x + 1 x x 2 2 + 1 / x 2 = 3 2

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