UFSC – 2018.1 – P1
Considere os limites
E
É correto afirmar que:
Não é necessário justificativa.
Passo 1
Fala ai, rapaziada! Ele disse no enunciado que não precisa justificar, mas eu vou te mostrar passo a passo como arrasar nessa questão, então vem comigo!
Essa questão me dá 3 limites para resolver e quer saber qual é a relação entre os resultados no final, então vamos resolver um por um.
O primeiro limite para resolver é esse aqui:
Sempre que começamos um limite, tentamos substituir a variável pelo limite e vemos o que acontece, logo, substituindo :
Como sabemos que:
Então chegamos na indeterminação de :
E o que podemos fazer quando temos um caso desse? Usamos L’Hospital, ou seja, derivamos o numerador e o denominador ao mesmo tempo:
Derivando o numerador nós temos:
Como você pode ver, dentro do seno, nós temos uma função em termo de , então vamos usar a regra da cadeia aqui:
Portanto, nosso numerador fica:
Agora derivando o denominador é bem mais simples:
Podemos voltar ao limite :
Vamos tentar substituir o valor de de novo:
Então encontramos o primeiro limite:
Passo 2
Vamos fazer esse segundo limite, bora lá:
Quando vemos um polinômio em cima e um polinômio em baixo, o que você pensa? Bom, eu vejo uma oportunidade de colocar em evidência o maior termo.
LEMBRE-SE DISSO! Quando tiver polinômio em cima e embaixo na fração, vai ser muito comum que você precise colocar o termo de maior potência em evidência.
Podemos cortar esse do numerador e do denominador, correto:
Se nós substituirmos o valor de nas frações, nós as levaremos a serem iguais a zero:
Viu que beleza? Quando colocamos o termo de maior potência em evidência, os vão ficar nos denominadores e anular alguns termos, mas não tem mais indeterminação. É o que queremos!
Então encontramos também o valor de :
Passo 3
Por último e não menos importante, nós temos o limite :
Esse é um daqueles casos clássicos que nós temos uma estratégia infalível para usar. Como temos na base da potência e no expoente, basta lembrar essa relação aqui:
Vamos usar no nosso caso de limite:
Como o limite tem a ver com o que está no expoente, podemos jogar o limite pro campo do expoente, não é verdade? Veja:
Ta pequenininho, né? Então vamos olhar mais de pertinho esse limite:
Podemos usar essa relação aqui para simplificar o logaritmo:
Então nosso limite se torna:
Se substituirmos o valor de nesse momento, nós encontraremos:
Ou seja, uma indeterminação, em que podemos usar L’Hospital. Vamos derivar o numerador e o denominador:
Como temos uma função dentro do , então vamos usar a Regra da Cadeia:
Derivando o denominador:
Então temos o limite:
Substituindo o valor de :
Essa é a resposta final? Não, porque esse era apenas o expoente de :
Esse sim é o nosso limite!
Passo 4
Agora vamos comparar os limites que calculamos
Com as alternativas da questão. Vou relembrar elas aqui pra ficar mais fácil:
A única opção que se encaixa nessa pergunta é a letra “c”:
Pois substituindo os valores:
Resposta
Letra “c”