Calcule:

(a) lim x →   - ∞ ⁡ 3 x 4 + x 2 4 x 2

Passo 1

Ver o que acontece no limite indicado

Eu não sei você mas quando eu vejo uma raiz em questões de limite já da arrepios. Mas relaxa que vamos tirar de letra. O primeiro passo é tentar ver o que acontece no limite de x para valores infinitamente pequenos. Veja que:

lim x →   - ∞ ⁡ 3 x 4 + x 2 = ∞

E que:

lim x →   - ∞ ⁡ 4 x 2 =   ∞

Graficamente:

Eita, caímos numa indeterminação então do tipo ∞ ∞ . Temos que tentar rearranjar então o limite pra mandar essa indeterminação pro espaço.

Passo 2

Colocar o que puder em evidência

Da uma olhada com muito carinho no limite, vê um padrão? Se não, repara que o termo x 2 se repete algumas vezes. Vamos colocar ele em evidência então:

lim x →   - ∞ ⁡ 3 x 4 + x 2 4 x 2 = lim x →   - ∞ ⁡ x 2 3 x 2 + 1 x 2 4 = lim x →   - ∞ ⁡ | x | 3 x 2 + 1 x 2 4 ,

lim x →   - ∞ ⁡ 3 x 4 + x 2 4 x 2 = lim x →   - ∞ ⁡ 3 x 2 + 1 4 | x | .

Passo 3

Colocar tudo dentro da raiz e aplicar o limite

Opa, mas perai, continuamos com uma indeterminação do tipo ∞ ∞ , e agora? Calma jovem Padawan! Quando a gente trabalha com quocientes e tem uma raiz, as vezes ajuda se colocarmos tudo dentro da raiz. Sendo:

4 | x | = 16 x 2

Nosso limite vai ficar:

lim x →   - ∞ ⁡ 3 x 4 + x 2 4 x 2 = lim x →   - ∞ ⁡ 3 x 2 + 1 16 x 2 =   lim x →   - ∞ ⁡ 3 x 2 + 1 16 x 2

lim x →   - ∞ ⁡ 3 x 4 + x 2 4 x 2 = lim x →   - ∞ ⁡ 3 16 + 1 16 x 2

Agora sim a indeterminação sumiu! Basta aplicar o limite e partir pro abraço

lim x →   - ∞ ⁡ 3 x 4 + x 2 4 x 2 = lim x →   - ∞ ⁡ 3 16 + 1 16 x 2 = 3 4

Resposta

lim x →   - ∞ ⁡ 3 x 4 + x 2 4 x 2 = 3 4

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