Calcule (atenção: não é permitido usar derivadas no cálculo dos limites!):

(a) lim x → ∞ ⁡ x cos ⁡ 1723 x 2 + 1 4 + 7 x 2 ln ⁡ x x 4

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função x cos ⁡ 1723 x 2 + 1 4 + 7 x 2 ln ⁡ x x 4 quando x tende a infinito.

Repare que a gente tem uma indeterminação, porque se a gente substituir infinito no lugar de x , vamos ter um “cosseno de infinito”, que não existe. E não existe porque o cosseno é uma função limitada entre - 1 e 1 . E quando a gente tem uma função limitada, faz sentido a gente pensar em usar o Teorema do confronto (ou teorema do sanduiche).

Esse teorema nos diz que tendo uma função h x , limitada na forma:

f x ≤ h x ≤ g ( x )

Jogando o limite em tudo:

lim x → a ⁡ f ( x ) ≤ lim x → a ⁡ h ( x ) ≤ lim x → a ⁡ g ( x )

E se, por acaso tivermos que:

lim x → a ⁡ f ( x ) = lim x → a ⁡ g ( x ) = L

Então, o limite de h ( x ) , com x tendendo a a , vai ser igual ao limite das funções nos extremos, ou seja:

lim x → a ⁡ h ( x ) = L

É isso que nós vamos fazer na nossa função, mas no nosso caso f x = - 1 e g x = 1 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar simplificando um pouco a nossa função h x = x cos ⁡ 1723 x 2 + 1 4 + 7 x 2 ln ⁡ x x 4 :

x cos ��� 1723 x 2 + 1 4 + 7 x 2 ln ⁡ x x 4 = cos ⁡ 1723 x 2 + 1 4 + 7 x 2 ln ⁡ x x 7 / 2

Agora, como a gente sabe que o cosseno de qualquer coisa é limitado entre - 1 e 1 , vamos ter:

- 1 ≤ cos ⁡ 1723 x 2 + 1 4 + 7 x 2 ln ⁡ x ≤ 1

Dividindo todo mundo por x 7 / 2 , temos:

- 1 x 7 / 2 ≤ cos ⁡ 1723 x 2 + 1 4 + 7 x 2 ln ⁡ x x 7 / 2 ≤ 1 x 7 / 2

E aplicando o limite em todos os termos:

l i m x → ∞ - 1 x 7 2 ≤ l i m x → ∞ cos ⁡ 1723 x 2 + 1 4 + 7 x 2 ln ⁡ x x 7 2 ≤ l i m x → ∞ 1 x 7 2

Calculando o limite de - 1 x 7 2 e de 1 x 7 2 , temos:

l i m x → ∞ - 1 x 7 2 = l i m x → ∞ 1 x 7 2 = 0

Porque a gente tem uma constante dividindo um número infinitamente grande, então esse resultado vai se aproximando cada vez mais de zero. Sendo assim, pelo Teorema do Confronto, vamos ter:

l i m x → ∞ cos ⁡ 1723 x 2 + 1 4 + 7 x 2 ln ⁡ x x 7 2 = 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

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