UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Provas - Profº Alexandre - P1 2015.1, Questão 1a
Calcule (atenção: não é permitido usar derivadas no cálculo dos limites!):
(a)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função quando tende a infinito.
Repare que a gente tem uma indeterminação, porque se a gente substituir infinito no lugar de , vamos ter um “cosseno de infinito”, que não existe. E não existe porque o cosseno é uma função limitada entre e . E quando a gente tem uma função limitada, faz sentido a gente pensar em usar o Teorema do confronto (ou teorema do sanduiche).
Esse teorema nos diz que tendo uma função , limitada na forma:
Jogando o limite em tudo:
E se, por acaso tivermos que:
Então, o limite de , com tendendo a , vai ser igual ao limite das funções nos extremos, ou seja:
É isso que nós vamos fazer na nossa função, mas no nosso caso e .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar simplificando um pouco a nossa função :
Agora, como a gente sabe que o cosseno de qualquer coisa é limitado entre e , vamos ter:
Dividindo todo mundo por , temos:
E aplicando o limite em todos os termos:
Calculando o limite de e de , temos:
Porque a gente tem uma constante dividindo um número infinitamente grande, então esse resultado vai se aproximando cada vez mais de zero. Sendo assim, pelo Teorema do Confronto, vamos ter:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉