Sem usar a regra de L’Hospital, calcule o limite ou prove que não existe:

lim(x→+∞) (1 - e^x) / (1 + 2e^x)

Passo 1

Tenta substituir x por e você vai ver que vai dar uma indeterminação daquelas bem feias.

E aí, como prosseguir? Temos manipular o limite pra sair da indeterminação. Como se trata de um quociente de funções exponenciais com   x tendendo a infinito, vamos colocar o termo de maior base, no caso o e x , em evidência:

l i m x →   + ∞ 1 - ⅇ x 1 + 2 ⅇ x = l i m x →   + ∞ ⅇ x ( ⅇ - x - 1 ) ⅇ x ( ⅇ - x + 2 ) = l i m x →   + ∞ ⅇ - x - 1 ⅇ - x + 2  

Passo 2

Lembrando que lim x  →  ∞ ⁡ ⅇ - x = 0   fica fácil de resolver. Olha:

l i m x →   + ∞ ⅇ - x - 1 ⅇ - x + 2   =   l i m x →   + ∞ - 1 2 =   - 1 2

Resposta

- 1 2

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