7) Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 2 x + 2 x + 1

Passo 1

Eaí gente, bora mandar a ver nessa questão!!

Pô, o x está tendendo a - ∞ , por isso tanto o numerador como o denominador também estão tendendo ao infinito. O que será que dá para fazer nesses casos?

Pensa comigo, o que faz o limite ir para o infinito quando x → - ∞ é o fato de termos um polinômio no numerador e no denominador que são proporcionais a x . A ideia então, é retirar essa proporcionalidade, colocando o bendito x em evidência e torcendo para ele cancelar na divisão entre o numerador e denominador.

Passo 2

Bora botar x em evidência então. Uma dica importante é sempre colocarmos a maior potência de x em evidência, tipo assim, se a gente tiver:

x 3 + x 2 + x = 0  

A maior potência de x é justamente x 3 , então fica:

x 3 1 + 1 x + 1 x 2 = 0

É massa colocar nessa forma, porque quando o x → ∞   esses termos ( 1 x , 1 x 2 ) tendem a zero. Legal né?!

Vamos voltar à nossa questão e fazer o mesmo procedimento:

  • x 2 - 2 x + 2 =   x 2 1 - 2 x + 2 x 2 = | x | 1 - 2 x + 2 x 2
  • x + 1 = x 1 + 1 x  

Passo 3

Massa, agora que já colocamos em evidência, vamos substituir isso em nosso limite. Vamos ter que:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 2 x + 2 x + 1 = lim x → - ∞ ⁡ | x | 1 - 2 x + 2 x 2 x 1 + 1 x = lim x → - ∞ ⁡ -   1 - 2 x + 2 x 2 1 + 1 x = -   1 - 0 + 0 1 + 0 = - 1

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 2 x + 2 x + 1   =   - 1

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