Calcule, se existir, o valor dos seguintes limites. Caso não exista, justifique.

c) lim (x → +∞) (x^3 + 2x + 5) / (7x^3 + x^2 - 5)

Passo 1

Oiiie, tudo bem com você?

A questão pede para que calculemos o limite

l i m x → + ∞ x 3 + 2 x + 5 7 x 3 + x 2 - 5

Para isso iremos ter que manipular a razão que está no limite de maneira que tenhamos um resultado que não é indeterminado. A primeira coisa que costumamos fazer é avaliar a expressão no limite de x muito grande, ou seja, quando x → + ∞ , temos que no denominador e no numerador temos polinômios, potanto

l i m x → + ∞ x 3 + 2 x + 5 7 x 3 + x 2 - 5 = ∞ ∞

O que é indeterminado! Mas, e agora, o que fazemos? Isso é uma resposta válida? NÃO! Vamos manipular a expressão até que este resultado seja claro matematicamente! Vem comigo!

Passo 2

Aqui temos um polinômio de grau 3 no numerador, e outro de mesmo grau no denominador de nosso limite. Sempre que temos dois polinômios desta forma em um limite que tende ao infinito, é conveniente dividirmos em cima e embaixo pelo termo de maior ordem! Em nosso caso, temos que este termo é x 3 . Fazendo isso, obtemos

l i m x → + ∞ x 3 + 2 x + 5 7 x 3 + x 2 - 5 = l i m x → + ∞ ( x 3 + 2 x + 5 ) / x 3 ( 7 x 3 + x 2 - 5 ) / x 3

Se distribuirmos para todos os termos e simplificarmos as potências, temos que

l i m x → + ∞ ( x 3 + 2 x + 5 ) / x 3 ( 7 x 3 + x 2 - 5 ) / x 3 = l i m x → + ∞ 1 + 2 / x 2 + 5 / x 3 7 + 1 / x - 5 / x 3

Isso aqui é útil para nós devido a uma propriedade dos limites, você lembra qual é? Saca só!

Passo 3

Temos que quando dividimos um número por um valor muuuuito “grande”, esta razão tende a um número muuuuito “pequeno”, ou seja, podemos escrever que para qualquer constante c , o seguinte limite é verdade

l i m x → + ∞ = c x n = 0

Aplicando isso em todos os termos no nosso limite, temos que

l i m x → + ∞ 1 + 2 / x 2 + 5 / x 3 7 + 1 / x - 5 / x 3 = 1 + 0 + 0 7 + 0 - 0 = 1 7

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

l i m x → + ∞ x 3 + 2 x + 5 7 x 3 + x 2 - 5 = 1 7

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