11. Seja f :   R → R uma função derivável tal que f ' x ≠ 0 e lim x → + ∞ ⁡ f x = 1 . Então o valor lim x → + ∞ ⁡ f x 2 f x - 1   é:

A e 2

B e - 2

C 1

D + ∞

E inexistente

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bom? Aqui precisamos calcular esse limite aqui

lim x → + ∞ ⁡ f x 2 f x - 1

Aplicando as propriedades de limites, podemos escrever

lim x → + ∞ ⁡ f x 2 lim x → + ∞ ⁡ f x - 1

Mas o enunciado nos disse que

lim x → + ∞ ⁡ f x = 1

Com isso, ficamos com

lim x → + ∞ ⁡ f x 2 lim x → + ∞ ⁡ f x - 1 = 1 ∞

Isso é uma indeterminação! Então para descobrir esse limite vamos aplicar L’Hopistal.

Bora lá!

Passo 2

Antes de aplicarmos L’Hospital, vamos precisar reescrever a nossa função aplicando propriedades exponenciais

lim x → + ∞ ⁡ f x 2 f x - 1 = e lim x → + ∞ ⁡ 2 ln ⁡ f x f x - 1

Calculando o limite da nossa função ficamos com

e lim x → + ∞ ⁡ 2 ln ⁡ f x f x - 1 = 0 0

Isso também é uma identerminação! Mas agora podemos aplicar L’Hopistal.

Passo 3

Para aplicar L’Hospita, precisamos derivar a nossa função em cima e em baixo. E o enunciado nos forneceu que f ' x ≠ 0 .

Como

lim x → + ∞ ⁡ 2 ln ⁡ f x f x - 1 = lim x → + ∞ ⁡ 2 f ' x f x f x = lim x → + ∞ ⁡ 2 f x = 2

Temos então que

lim x → + ∞ ⁡ f x 2 f x - 1 = e lim x → + ∞ ⁡ 2 ln ⁡ f x f x - 1 = e 2

Prontinho!

Resposta

Letra A

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