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Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Indeterminação ∞/∞ e 0/0

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Enunciado

2ii) Calcule o seguinte limite:

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x 1 x 2

Passo 1

Eita, uma função elevada a outra? Parece complicado! Mas ó, relaxa! Tem uma propriedade interessante sobre exponenciais que sempre salvam a gente em funções desse tipo, saca só:

f x = e ln ⁡ f x

Aplicando essa propriedade no nosso caso, temos:

cos ⁡ x 1 x 2 = e ln ⁡ cos ⁡ x 1 x 2

cos ⁡ x 1 x 2 = e ln ⁡ cos ⁡ x x 2

Substituindo no limite, temos:

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x 1 x 2 = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ cos ⁡ x x 2 = e lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ cos ⁡ x x 2

O limite então que a gente quer ficou mais bonito de calcular!

Passo 2

Vamos calcular o limite que sobrou então. Ele vai ser:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ cos ⁡ x x 2

Primeira regra dos limites: substituir pra ver o que acontece

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ cos ⁡ x x 2 = ln ⁡ cos ⁡ 0 0 2 = ln ⁡ 1 0 = 0 0

Opa, indeterminação em! Quando rola uma indeterminação desse tipo, podemos usar L’Hospital pra salvar nossa pele! Então realizando LH, temos:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ cos ⁡ x x 2 = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ cos ⁡ x ' x 2 ' =

= lim x → 0 + ⁡ 1 cos ⁡ x cos ⁡ x ' 2 x = lim x → 0 + ⁡ 1 cos ⁡ x - sin ⁡ x 2 x

= lim x → 0 + ⁡ - tan ⁡ x 2 x

Vamos tentar substituir de novo pra ver se achamos a resposta do limite:

lim x → 0 + ⁡ - tan ⁡ x 2 x = - tan ⁡ 0 2 . 0 = 0 0

Eita, não foi ainda. Mas como a indeterminação que deu foi do mesmo tipo, podemos fazer LH de novo. Então partiu:

lim x → 0 + ⁡ - tan ⁡ x 2 x = lim x → 0 + ⁡ - tan ⁡ x ' 2 x ' = lim x → 0 + ⁡ - sin ⁡ x cos ⁡ x ' 2

Pela regra do quociente, temos que:

sin ⁡ x cos ⁡ x ' = cos ⁡ x cos ⁡ x - sin ⁡ x - sin ⁡ x cos 2 ⁡ x

sin ⁡ x cos ⁡ x ' = cos 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x = 1 cos 2 ⁡ x

E logo:

lim x → 0 + ⁡ - sin ⁡ x cos ⁡ x ' 2 = lim x → 0 + ⁡ - 1 cos 2 ⁡ x 2 = lim x → 0 + ⁡ - 1 2 cos 2 ⁡ x

Agora deve ter funcionado em! Substituindo então:

lim x → 0 + ⁡ - 1 2 cos 2 ⁡ x = - 1 2 cos 2 ⁡ 0 = - 1 2

Passo 3

Pra fechar, só falta juntar tudo que vimos nos outros passos. Ou seja, se:

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x 1 x 2 = e lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ cos ⁡ x x 2

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ cos ⁡ x x 2 = - 1 2

Terminamos a questão e a resposta vai ser:

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x 1 x 2 = e - 1 2

Resposta

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x 1 x 2 = e - 1 2

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Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim θ → π / 2⁡ 1 - s e n ( θ
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)