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Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Indeterminação ∞/∞ e 0/0

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Enunciado

O valor de lim x → 0 ⁡ 1 - 9 x 2 1 sin 2 ⁡ 2 x é:

  1. e - 4 9
  2. e - 3 4
  3. e - 2 9
  4. e - 9 4
  5. e - 1 9

Passo 1

Pra gente resolver esse limite doidão, vamos lembrar de uma propriedade importantíssima dos logaritmos:

f x = e ln ⁡ f x

Aplicando essa ideia pra função dentro do limite, temos:

1 - 9 x 2 1 sin 2 ⁡ 2 x = e ln ⁡ 1 - 9 x 2 1 sin 2 ⁡ 2 x

1 - 9 x 2 1 sin 2 ⁡ 2 x = e 1 sin 2 ⁡ 2 x ∙ ln ⁡ 1 - 9 x 2

1 - 9 x 2 1 sin 2 ⁡ 2 x = e ln ⁡ 1 - 9 x 2 sin 2 ⁡ 2 x

E das propriedades dos limites, podemos fazer:

lim x → 0 ⁡ 1 - 9 x 2 1 sin 2 ⁡ 2 x = lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ 1 - 9 x 2 sin 2 ⁡ 2 x = e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 - 9 x 2 sin 2 ⁡ 2 x

Dessa forma, o limite que vamos realmeeeente ter que resolver é outro galera, esse aqui:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 - 9 x 2 sin 2 ⁡ 2 x

E se substituirmos pra ver o que acontece, vemos que dá uma indeterminação chata que temos que nos livrar pra resolver:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 - 9 x 2 sin 2 ⁡ 2 x = ln ⁡ 1 sin 2 ⁡ 0 = 0 0

Passo 2

A gente pode ficar tranquilão pelo menos com uma coisa: essa indeterminação, 0 0 , é clássica de L’Hospital! Então se fizermos LH talvez a indeterminação suma! Bora tentar? Derivando em cima e em baixo, vamos ter:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 - 9 x 2 sin 2 ⁡ 2 x = lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 - 9 x 2 ' sin 2 ⁡ 2 x '

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 - 9 x 2 sin 2 ⁡ 2 x = lim x → 0 ⁡ 1 1 - 9 x 2 1 - 9 x 2 ' 2 sin ⁡ 2 x sin ⁡ 2 x '

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 - 9 x 2 sin 2 ⁡ 2 x = lim x → 0 ⁡ 1 1 - 9 x 2 - 18 x 2 sin ⁡ 2 x 2 cos ⁡ 2 x

E agora a gente organiza isso ai pra ficar mais bonito e fácil de entender. Vamos começar separando o termo seno. Dessa forma, é bem capaz que um limite fundamental trigonométrico apareça! Saca só:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 - 9 x 2 sin 2 ⁡ 2 x = lim x → 0 ⁡ 1 1 - 9 x 2 - 18 x 2 2 cos ⁡ 2 x ∙ lim x → 0 ⁡ 1 sin ⁡ 2 x

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 - 9 x 2 sin 2 ⁡ 2 x = lim x → 0 ⁡ 1 1 - 9 x 2 - 18 x 2 2 cos ⁡ 2 x ∙ lim x → 0 ⁡ 2 x 2 x sin ⁡ 2 x

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 - 9 x 2 sin 2 ⁡ 2 x = lim x → 0 ⁡ 1 1 - 9 x 2 - 18 x 2 2 cos ⁡ 2 x ∙ 2 x ∙ lim x → 0 ⁡ 2 x sin ⁡ 2 x

Opa, apareceu um limite fundamental trigonométrico ali em! Como:

lim x → 0 ⁡ 2 x sin ⁡ 2 x = 1

Vamos ter:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 - 9 x 2 sin 2 ⁡ 2 x = lim x → 0 ⁡ 1 1 - 9 x 2 - 18 x 2 2 cos ⁡ 2 x ∙ 2 x = lim x → 0 ⁡ 1 1 - 9 x 2 - 9 2 2 cos ⁡ 2 x =

= lim x → 0 ⁡ - 9 1 - 9 x 2 4 cos ⁡ 2 x = lim x → 0 ⁡ - 9 1 - 9 x 2 4 cos ⁡ 2 x

Substituindo agora, vamos ver que a indeterminação sumiu! Olha só:

lim x → 0 ⁡ - 9 1 - 9 x 2 4 cos ⁡ 2 x = - 9 1 4 cos ⁡ 0 = - 9 4

Passo 3

Pô, na verdade nós fechamos a questão. Juntando tudo que vimos, temos:

lim x → 0 ⁡ 1 - 9 x 2 1 sin 2 ⁡ 2 x = e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 - 9 x 2 sin 2 ⁡ 2 x

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 - 9 x 2 sin 2 ⁡ 2 x = - 9 4

Logo:

lim x → 0 ⁡ 1 - 9 x 2 1 sin 2 ⁡ 2 x = e - 9 4

A resposta então vai ser a letra D !

Resposta

L e t r a   D

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Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim θ → π / 2⁡ 1 - s e n ( θ
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)