UFES, 2018.1, Lista 5, Q09
09) Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.
Passo 1
Eaí gente, prontos pra matar mais um limite?!
Primeiro, precisamos fazer pra verificar se já dá pra resolver o limite assim:
Puts, uma indeterminação matemática.
Vamos pensar mais um pouco então.
Passo 2
Note que nesse caso é bem difícil encaixar o limite considerado no limite fundamental trigonométrico, por exemplo. Também não conseguimos usar o teorema do anulamento. Provavelmente teríamos que ter um grande trabalho trigonométrico, usando algumas identidades, para conseguir resolver esse limite. Nesses casos, podemos fazer uso de um teorema muito poderoso, o teorema de L’hospital. Ele diz o seguinte:
Se a gente tiver um limite que quando substituímos o valor que está tendendo caímos em uma indeterminação (algo como ou ), podemos afirmar que:
Onde e são as derivadas de e , respectivamente.
Veja que nessa questão acontece exatamente isso, caímos em uma indeterminação matemática do tipo . Então vamo usar L’hospital.
Passo 3
De forma bem parecida:
Então, pelo teorema de L’hospital, temos que:
Olha que maravilha! Esse teorema é muito legal. Agora, quando não temos mais uma indeterminação matemática. Então:
Conseguimos simplificar bastante a questão usando essa técnica 😊