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Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Indeterminação ∞/∞ e 0/0

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Enunciado

Calcule o limite:

lim x → 0 ⁡ cos 2 ⁡ x - 1 e x 2 - 1

Passo 1

Chegou o momento que todos os alunos amam! (Acredite... Eu amo kkkkkk). A partir de agora vocês estarão aptos a fazer alguns limites muuuito mais rápido.

Agora... Infelizmente, não podemos utilizar esse teorema pra todos os casos, neh? Apenas se tivermos uma indeterminação do tipo

0 0           o u           ∞ ∞

No nosso caso, basta avaliar no limite...

cos 2 ⁡ 0 - 1 e 0 2 - 1 =

1 - 1 1 - 1 = 0 0

Ou seja... Podemos aplicar L’hopital . Bora lá?

Passo 2

Então, esse teorema, como você deve se lembrar, iguala esse limite

lim x → 0 ⁡ cos 2 ⁡ x - 1 e x 2 - 1

com o limite da divisão da derivada de cima, pela derivada do de baixo, veja:

lim x → 0 ⁡ cos 2 ⁡ x - 1 e x 2 - 1 = lim x → 0 ⁡ cos 2 ⁡ x - 1 ' e x 2 - 1 '

Tome cuidado para não derivar utilizando a regra da fração, heim! L’hopital treme no túmulo, hehe.

Então vamos derivar!

Passo 3

Primeiro derivando em cima aplicando a regra da cadeia:

lim x → 0 ⁡ cos 2 ⁡ x - 1 ' e x 2 - 1 ' = lim x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ x ' e x 2 - 1 ' =

lim x → 0 ⁡ - 2 cos ⁡ x sin ⁡ x e x 2 - 1 ' =

Agora derivando em baixo utilizando a regra da cadeia:

lim x → 0 ⁡ - 2 cos ⁡ x sin ⁡ x e x 2 ⋅ x 2 ' =

lim x → 0 ⁡ - 2 cos ⁡ x sin ⁡ x 2 x   e x 2

Então, aquele limite que dava uma indeterminação é igual a esse daí por L ' h o p i t a l :

lim x → 0 ⁡ cos 2 ⁡ x - 1 e x 2 - 1 = lim x → 0 ⁡ - 2 cos ⁡ x sin ⁡ x 2 x   e x 2

Passo 4

Bem, agora temos que ver se esse limite já sai. Para ver isso, substituímos o ponto para oonde o x está indo, ou seja, x = 0 ...

- 2 cos ⁡ x sin ⁡ x 2 x   e x 2 = - 2 cos ⁡ 0 sin ⁡ 0 2 ⋅ 0   e 0 2 =

0 0

Opa! Outra indeterminação... O que fazemos? Outro L’hopital !

lim x → 0 ⁡ - 2 cos ⁡ x sin ⁡ x 2 x   e x 2 = lim x → 0 ⁡ - 2 cos ⁡ x sin ⁡ x ' 2 x   e x 2 '

Passo 5

Calculando a derivada do de cima, agora se atentando com a regra do produto...

lim x → 0 ⁡ - 2 cos ⁡ x sin ⁡ x ' 2 x   e x 2 ' = lim x → 0 ⁡ - 2 cos ⁡ x sin ⁡ x ' + cos ⁡ x ' sin ⁡ x 2 x   e x 2 ' =

lim x → 0 ⁡ - 2 cos 2 ⁡ x - sin 2 ⁡ x 2 x   e x 2 '

Agora, calculando a derivada do de baixo, se atentando a regra do produto e da cadeia...

lim x → 0 ⁡ - 2 cos 2 ⁡ x - sin 2 ⁡ x 2 x   e x 2 ' = lim x → 0 ⁡ - 2 cos 2 ⁡ x - sin 2 ⁡ x 2 x ' e x 2 + x e x 2 ' =

lim x → 0 ⁡ - 2 cos 2 ⁡ x - sin 2 ⁡ x 2 e x 2 + 2 x 2 e x 2

Então, o limite que a gente quer, é igual a esse limite, pelo Teorema...

lim x → 0 ⁡ cos 2 ⁡ x - 1 e x 2 - 1 = lim x → 0 ⁡ - 2 cos 2 ⁡ x - sin 2 ⁡ x 2 e x 2 + 2 x 2 e x 2

Passo 6

Como fizemos anteriormente, testamos o x = 0 pra ver se agora vai:

- 2 cos 2 ⁡ x - sin 2 ⁡ x 2 e x 2 + 2 x 2 e x 2 = - 2 cos 2 ⁡ 0 - sin 2 ⁡ 0 2 e 0 + 2 ⋅ 0 2 ⋅ e 0 =

- 2 1 2 - 0 2 1 + 0 =

- 2 2 = - 1

Funcionou!

Então, por dois L’hopital...

lim x → 0 ⁡ cos 2 ⁡ x - 1 e x 2 - 1 = - 1

Resposta

lim x → 0 ⁡ cos 2 ⁡ x - 1 e x 2 - 1 = - 1

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)