Resolva as indeterminações abaixo usando a Regra de L'Hospital.

b )   l i m x → 0 + l n ( x + 1 ) x

Passo 1

Falaaa aí, meu povo lindo!! Quais as novidades por aí? Por aqui, eu já tenho certeza que vamos sair craques nessa matéria com a resolução dessa questãozinha. Bora??

Bom essa questão quer que resolvamos o item b e os seguintes a partir da Regra L’Hospital . Vocês lembram de como é essa regra??

A regra de L’Hospital consiste em um recurso para fugir de indeterminações do tipo 0 0 ou ∞ ∞ .

E o recurso consiste na ideia de que sejam f   e   g duas funções contínuas num intervalo I , deriváveis no interior de I , tais que g ' ( x )   ≠   0 para todo x no interior de I . Seja a   ∈   I e suponha-se que f ( a ) = g ( a )   =   0 e que existe l i m x → a f ' ( x ) g ' ( x )   . Portanto, pode-se afirmar que

l i m x → a f ( x ) g ( x )   = l i m x → a f ' ( x ) g ' ( x )  

Nesse caso o que muda na nossa questão é que temos o x tendendo a 0 + . Entretanto, podemos aplicar a regra da mesma forma.

Tudo ok até aqui? Relaxa, a definição assusta um pouco mesmo, mas é só pegar a prática!

Passo 2

O nosso item quer saber qual é o limite de l n ( x + 1 ) x quando o x tender a 0 + . Então primeiro vamos chamar de f ( x )   =   l n ( x + 1 )   e g ( x )   = x   .

Assim, para utilizarmos a regra de L’Hospital deveremos encontrar a derivada das funções f ( x )   e   g ( x ) .

f ' ( x )   = 1 x + 1  

g ' ( x )   = 1  

Derivadas já encontradas, agora basta aplicar a regra.

Passo 3

De acordo com a Regra de L’Hospital:

l i m x → a f ( x ) g ( x )   = l i m x → a f ' ( x ) g ' ( x )  

Sendo f ' ( x ) e g ' ( x ) :

f ' ( x )   = 1 x + 1  

g ' ( x )   = 1  

Assim, utilizando os dados do nosso item, temos que:

l i m x → 0 + l n ( x + 1 ) x = 1 x + 1 1   =   1 x + 1 =   1 0 + 1 = 1  

Lembrando que l i m x → a k   =   k , sendo k uma constante.

Resposta

l i m x → 0 + l n ( x + 1 ) x   =   1

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2