Calcule os limites abaixo. Justifique suas respostas.

b)

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ ( 3 x ) t g ⁡ ( 5 x )

Passo 1

Vamos substituir o valor:

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ ( 3 x ) t g ⁡ ( 5 x ) = tg ⁡ ( 0 ) t g ⁡ ( 0 ) = 0 0

Indeterminação, né? Bom, eu não sei um método mais prático que L’Hospital para resolver esse limite. Vamos nessa então, derivar em cima e embaixo (é bom lembrar, a dereivada da tangente é o quadrado da secante e, pela Regra da Cadeia, as constantes dos argumentos das tangentes aparecem fora).

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ ( 3 x ) t g ⁡ ( 5 x ) ⇒ L ' H lim x → 0 ⁡ tg ⁡ 3 x ' tg ⁡ 5 x ' = lim x → 0 ⁡ 3 sec 2 ⁡ ( 3 x ) 5 sec 2 ⁡ ( 5 x )

A partir daqui, amigo, é só substituir. Secante é o inverso do cosseno, cosseno de 0 é 1 . O inverso de 1 é 1 mesmo:

lim x → 0 ⁡ 3 sec 2 ⁡ ( 3 x ) 5 sec 2 ⁡ ( 5 x ) = 3 1 2 5 1 2 = 3 5

Resposta

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ 3 x tg ⁡ 5 x = 3 5

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