1. Calcule o limite

lim x → 0 + ⁡ x arctan ⁡ 3 x

Passo 1

Note em primeira mão que quando aplicamos x indo pra zero, temos um caso do tipo 0 / 0 .

Podemos então matar o problema utilizando o tão amado L’hopital!

Bora?

Passo 2

Derivando em cima e em baixo, vamos obter...

lim x → 0 + ⁡ x arctan ⁡ 3 x =

lim x → 0 + ⁡ x ' arctan ⁡ 3 x ' =

A derivada de cima é direta

lim x → 0 + ⁡ 1 arctan ⁡ 3 x ' =

Agora essa derivada de baixo, devemos utilizar a regra da cadeia, ok? Ou seja, derivamos a função de fora (o arco) e multiplicamos pela derivada da de dentro:

lim x → 0 + ⁡ 1 1 3 x 2 + 1 ∙ 3 x ' =

coma derivada de 3 x é 3 ...

lim x → 0 + ⁡ 1 3 3 x 2 + 1 =

lim x → 0 + ⁡ 1 9 x 2 + 1 3 =

lim x → 0 + ⁡ 9 x 2 + 1 3

Calculando esse limite aí substituindo o 0

lim x → 0 + ⁡ 9 ∙ 0 2 + 1 3 =

1 3

Resposta

1 3

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