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Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Indeterminação ∞/∞ e 0/0

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Enunciado

Calcule os limites:

lim x → ∞ ⁡ tg ⁡ 2 x arcsen ⁡ 5 x

Passo 1

Vamos começar substituindo esse cara:

lim x → ∞ ⁡ tg ⁡ 2 x arcsen ⁡ 5 x = tg ⁡ 2 ∞ arcsen ⁡ 5 ∞

= tg ⁡ 0 arcsen ⁡ 0 = 0 0

Indeterminação!

Passo 2

Podemos usar a Regra de L’Hospital:

lim x → ∞ ⁡ tg ⁡ 2 x arcsen ⁡ 5 x → L ' H lim x → ∞ ⁡ tg ⁡ 2 x ' arcsen ⁡ 5 x '

= lim x → ∞ ⁡ sec 2 ⁡ 2 x 2 x ' 1 1 - 5 x 2 5 x ' = lim x → ∞ ⁡ sec 2 ⁡ 2 x 2 1 x ' 1 1 - 5 x 2 5 1 x '

Os 1 x ' se cancelam:

lim x → ∞ ⁡ 2 sec 2 ⁡ 2 x 5 1 - 5 x 2

Substituindo:

lim x → ∞ ⁡ 2 sec 2 ⁡ 2 x 5 1 - 5 x 2 = 2 5 sec 2 ⁡ 2 ∞ 1 1 - 5 ∞ 2   = 2 5 sec 2 ⁡ 0 1 1 - 0 2

A secante é o inverso do cosseno, e cosseno de 0 vale 1 . Logo, sec ⁡ 0 = 1 .

2 5 1 2 1 1 = 2 5

Resposta

lim x → ∞ ⁡ tg ⁡ 2 x arcsen ⁡ 5 x = 2 5

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Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim θ → π / 2⁡ 1 - s e n ( θ
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)