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Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Indeterminação ∞/∞ e 0/0

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Enunciado

b Determine o valor de a de tal forma que

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 2 + x + 1 sen ⁡ x 2 + a x = 1 2

Passo 1

Como todas as vezes, precisamos mostrar que há uma indeterminação:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 2 + x + 1 sen ⁡ x 2 + a x ⟹ lim ⁡ x → 0 ln ⁡ x 2 + x + 1 lim x → 0  sen ⁡ x 2 + a x ⟹ ln ⁡ 1 s e n 0 ⟹ 0 0

Passo 2

Agora podemos aplicar L’Hôpital sem dó:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 2 + x + 1 sen ⁡ x 2 + a x = lim x → 0 ⁡ [ ln ⁡ x 2 + x + 1 ] ' [ sen ⁡ x 2 + a x ] '

Para o numerador, usamos a regra da cadeia:

[ ln ⁡ x 2 + x + 1 ] ' = 1 x 2 + x + 1 ⋅ ( x 2 + x + 1 ) ' = 2 x + 1 x 2 + x + 1  

Para o denominador usamos a regra da cadeia também:

[ sen ⁡ x 2 + a x ] ' = cos ⁡ x 2 + a x x 2 + a x ' = 2 x + a cos ⁡ x 2 + a x

Substituindo os achados:

… = lim x → 0 ⁡ [ ln ⁡ x 2 + x + 1 ] ' [ sen ⁡ x 2 + a x ] ' = lim x → 0 ⁡ [ ln ⁡ x 2 + x + 1 ] ' ⋅ 1 [ sen ⁡ x 2 + a x ] ' = l i m x → 0 2 x + 1 ( x 2 + x + 1 ) ⋅ 1 2 x + a cos ⁡ x 2 + a x = l i m x → 0 2 x + 1 ( x 2 + x + 1 ) 2 x + a cos ⁡ x 2 + a x

Para esse limite temos que:

l i m x → 0 2 x + 1 ( x 2 + x + 1 ) 2 x + a cos ⁡ x 2 + a x = 1 1 ⋅ a ⋅ cos ⁡ 0 = 1 a

Dessa forma, pelo enunciado esse limite tem que ser igual a 1 / 2 , então:

1 a = 1 2 ∴ a = 2

∴ significa “portanto” ;-)

Resposta

a = 2

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim θ → π / 2⁡ 1 - s e n ( θ
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)