Considere definida por:
Encontre o valor de , para que seja contínua.
Passo 1
Primeiramente, não precisa se desesperar com o enunciado quando diz . Isso significa simplesmente que a função pega um valor de até infinito e leva ele até um número real.
Ok, agora, para começar, vamos analisar a continuidade geral da função. Temos aí um log, um seno e polinômios. Essas funções são naturalmente contínuas dentro dos seus domínios.
Passo 2
Feito isso, só precisamos agora garantir que a função também seja contínua no ponto onde ela troca de expressão para que seja contínua em todo seu domínio. Repare alí que ela troca de expressão exatamente em . Então, vamos determinar a continuidade nesse ponto.
Para que a função seja contínua aí, precisamos que:
Então vamos calcular cada um desses limites para verificar a igualdade.
Passo 3
Vamos começar analisando o limite lateral pela esquerda. Como esse limite é dado pela aproximação através de valores menores que , então usamos a expressão com o seno, que é validade justamente para . Assim, substituímos no limite:
Para resolvê-lo, a primeira coisa que devemos fazer é substituir seu valor no ponto:
Como temos uma indeterminação, vamos precisar manipular nossa expressão para chegar no resultado. Veja que é justamente uma das indeterminações de então podemos usá-lo derivando em cima e embaixo:
Quanto dá esse limite? Vamos substituir o ponto:
Passo 4
Pô. Vimos lá atrás que, para ser contínua:
Assim, vamos achar . Aplicando :
Pronto! Esse é o valor de para que a função seja contínua. Nem precisamos testar para o limite pela direita.