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Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Indeterminação ∞/∞ e 0/0

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Enunciado

UnB - Cálculo I - Listas - Lista 11- Questão 5a

Calcule cada um dos limites abaixo.

a )   l i m x → 0 1   +   x   - 1 - ( x / 2 ) x ²

Passo 1

Xuxus, como vocês estão? Eu não sei vocês, mas eu tô animada pra resolver esse probleminha. Vamos juntos???

Bom a questão é bem sucinta na pergunta, deseja saber qual é o limite de 1   +   x   - 1 - ( x / 2 ) x ² quando x se aproxima de 0 . Qual é o primeiro passo que devemos fazer??

Passo 2

Bom, primeiro vamos substituir o valor na expressão, ou seja , x   =   0 e aí vamos observar o que acontece.

l i m x → 0 1   +   x   - 1 - ( x / 2 ) x ² =   l i m x → 0 1   +   0   - 1 - ( 0 / 2 ) 0 ²   =   0 0

Logo, observa-se que tivemos uma indeterminação do tipo 0 / 0 . Vimos nessa lista algumas estratégias para fugir desse tipo de indeterminação, vocês lembram qual é?

Passo 3

Se sua resposta foi a Regra de L’Hôspital, tá certíssimo! O que essa regra diz??

l i m x → a f ( x ) g ( x )   = l i m x → a f ' ( x ) g ' ( x )  

Bora utilizar então!

l i m x → 0 1   +   x   - 1 - ( x / 2 ) x ²   =   l i m x → 0 ( 1   +   x   - 1 - ( x / 2 ) ) ' ( x ² ) '   = l i m x → 0 1 2 x + 1   -   1 2 2 x   =   0 0  

Como recaímos novamente em uma indeterminação do tipo 0 / 0 vamos utilizar novamente a regra de L’Hôspital.

Passo 4

l i m x → 0 1   +   x   - 1 - ( x / 2 ) x ²   = l i m x → 0 ( 1 2 x + 1   -   1 2 ) ' ( 2 x ) '   = l i m x → 0 - 1 4 ( x + 1 ) 3 2   2       =   l i m x → 0 - 1 4 ( 0 + 1 ) 3 2   2   = - 1 8

Tudo tranquilinho? Showw de bola!

Resposta

l i m x → 0 1   +   x   - 1 - ( x / 2 ) x ²   = - 1 8  

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Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim θ → π / 2⁡ 1 - s e n ( θ
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)