Regra de L’Hospital
Calcule:
Passo 1
Conforme vimos na teoria, a primeira coisa é substituir o valor de
Opa! Antes de qualquer coisa, temos uma indeterminação dentro do logaritmo! Temos que resolver aquela indeterminação primeiro! Portanto vamos começar olhando aquele limite. Podemos separá-los usando a propriedade do produto:
Passo 2
Avaliando o segundo limite, que já nos fornece uma indeterminação:
Como a função logaritmo é contínua (é importante ressaltar isso na sua resolução, o professor vai curtir demais), podemos utilizar a última propriedade da nossa lista para entrar com o limite nela:
Agora a parada se resume a resolver esse outro limite um pouco mais simples. Se você souber L’Hospital, é coisa rápida. Dá pra resolver de dois jeitos, mas sem derivadas é muito mais trabalhoso.
Passo 3
Como a indeterminação é do tipo , podemos derivar em cima e em baixo:
Como o cosseno é uma função contínua:
Ou seja, substituindo de volta:
Passo 4
Como achamos o limite, podemos substituir no limite original para finalmente avaliar o tipo de indeterminação do limite que o enunciado pediu:
Substituindo no limite original:
Ou seja, chegamos numa indeterminação do tipo , portanto podemos utilizar L’Hospital novamente.
Passo 5
Derivando em cima e em baixo:
Passo 6
Mais uma vez, vamos avaliar o limite substituindo o valor de :
Mais uma vez chegamos numa indeterminação do tipo , portanto, L’Hospital nela:
Deu , novamente, apliquemos L’Hospital novamente:
Substituindo para avaliar esse limite:
Portanto, finalmente: