Calcule:

lim x → 0 ⁡ x - arctan ⁡ x x 3

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer é substituir o valor de x no limite

lim x → 0 ⁡ x - arctan ⁡ x x 3 = 0 - arctan ⁡ 0 0 3 = 0 - arctan ⁡ 0 0

Lembrando que arctan ⁡ 0 = 0 , então vamos ter

0 - arctan ⁡ 0 0 = 0 - 0 0 = 0 0

Isso dá uma indeterminação 0 0 e nesse tipo de indeterminação podemos usar L’Hospital

Passo 2

Vamos usar L’Hospital

lim x → 0 ⁡ x - arctan ⁡ x x 3 = lim x → 0 ⁡ x - arctan ⁡ x ' x 3 ' = lim x → 0 ⁡ 1 - 1 x 2 + 1 3 x 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 + 1 - 1 x 2 + 1 3 x 2

⇒ lim x → 0 ⁡ x 2 x 2 + 1 3 x 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 x 2 + 1 1 3 x 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 3 x 2 x 2 + 1

Podemos simplificar esse limite, sempre que aplicamos a regra de L’Hospital é bom dar uma arrumada na casa antes de olhar para esse limite de novo, isso vai ficar

lim x → 0 ⁡ 1 3 x 2 + 1 = 1 3 0 2 + 1 = 1 3 ∙ 1 = 1 3

Resposta

1 3

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