Em alguns casos, é necessário aplicar a Regra de L’Hôspital mais de uma vez. Por exemplo,

l i m x → +   ∞ e x x ²   =   l i m x → +   ∞ e x 2 x   = l i m x → +   ∞ e x 2   =   + ∞   .

Note que tanto o primeiro quanto o segundo limite são indeterminações do tipo ∞ ∞ , enquanto o último pode ser resolvido com as regras usuais do limite.

Use a ideia acima para resolver os limites abaixo.

b )   l i m x → 0 c o s   ² x - 1 x ²

Passo 1

Alôôô, é aqui que temos alunos aplicadíssimos e animados com essa questão??

Ebaa, é sim!! Vamos então…

Bom o enunciado da nossa questão já chama nossa atenção para alguns casos que se fazem necessário o uso da regra de L’Hôspital mais de uma vez para que se possa solucionar eventuais indeterminações do tipo 0 0 ou ∞ ∞ . Vocês lembram de como é essa regra???

O recurso consiste na ideia de que sejam f   e   g duas funções contínuas num intervalo I , deriváveis no interior de I , tais que g ' ( x )   ≠   0 para todo x no interior de I . Seja a   ∈   I e suponha-se que f ( a ) = g ( a )   =   0 e que existe l i m x → a f ' ( x ) g ' ( x )   . Portanto, pode-se afirmar que

l i m x → a f ( x ) g ( x )   = l i m x → a f ' ( x ) g ' ( x )  

Essa definição no começo pode parecer estranha, mas com o tempo você pega a prática.

Passo 2

O nosso item quer saber qual é o limite de c o s   ² x - 1 x ² quando o x tender a 0 . Então primeiro vamos chamar de f ( x )   = c o s ² x   - 1   e g ( x )   = x ²   .

Assim, para utilizarmos a regra de L’Hospital deveremos encontrar a derivada das funções f ( x )   e   g ( x ) .

f ' ( x )   = - 2 s e n x   -   0   =   - 2   s e n   x  

g ' ( x )   = 2 x

Derivadas já encontradas, agora basta aplicar a regra.

Passo 3

De acordo com a Regra de L’Hôspital:

l i m x → a f ( x ) g ( x )   = l i m x → a f ' ( x ) g ' ( x )  

Sendo f ' ( x ) e g ' ( x ) :

f ' ( x )   = - 2   s e n   x  

g ' ( x )     = 2 x  

Assim, utilizando os dados do nosso item, temos que:

l i m x → 0 c o s ² x   - 1 x ²   = l i m x → 0 - 2   s e n   x 2 x       =   l i m x → 0 - s e n   x x

Vejam que novamente caímos em uma indeterminação como o enunciado já havia nos alertado, dessa forma iremos aplicar a Regra de L’Hôspital novamente.

l i m x → 0 c o s ² x   -   1 x ²   = l i m x → 0 ( c o s ² x   -   1 ) ' ( x ² ) '   =   l i m x → 0 ( - s e n   x ) ' ( x ) ' = l i m x → 0 = - c o s   x   =   - 1    

E aí? Te ajudei? Responde Aí! :)

Resposta

l i m x → 0 c o s ² x   -   1 x ²   =   - 1

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2