Calcule os limites:

b   lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x + e x x

Passo 1

Substituindo o limite, olha como fica:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x + e x x = ∞ ∞

Podemos usar L’Hospital e acabar com essa indeterminação de quociente:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x + e x x → L ' H lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x + e x ' x '

= lim x → ∞ ⁡ x + e x ' x + e x 1 = lim x → ∞ ⁡ x + e x ' x + e x

= lim x → ∞ ⁡ 1 + e x x + e x = ∞ ∞

Ao substituir o limite caímos novamente numa indeterminação.

Passo 2

Podemos usar L’Hospital de novo para resolver esse cara:

lim x → ∞ ⁡ 1 + e x x + e x → L ' H lim x → ∞ ⁡ 1 + e x ' x + e x '

= lim x → ∞ ⁡ e x 1 + e x = lim x → ∞ ⁡ 1 + e x - 1 1 + e x

= lim x → ∞ ⁡ 1 + - 1 1 + e x = 1 - 1 ∞ = 1 - 0

= 1

Resposta

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x + e x x = 1

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