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Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Indeterminação ∞/∞ e 0/0

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Enunciado

Regra de L’Hospital

( b ) Determine o valor de a de tal forma que

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 2 + x + 1 sen ⁡ x 2 + a x = 1 2

Passo 1

Vamos lá, substituindo o limite de primeira:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 2 + x + 1 sen ⁡ x 2 + a x = ln ⁡ 1 sen ⁡ 0 = 0 0

Indeterminação de quociente, temos que fugir dela usando nosso querido L’Hospital:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 2 + x + 1 sen ⁡ x 2 + a x → L ' H lim x → 0 ⁡ x 2 + x + 1 ' x 2 + x + 1 x 2 + a x ' cos ⁡ x 2 + a x

= lim x → 0 ⁡ 2 x + 1 x 2 + x + 1 2 x + a cos ⁡ x 2 + a x

Agora vamos tentar substituir o limite de novo e ver no que vai dar esse cara:

lim x → 0 ⁡ 2 x + 1 x 2 + x + 1 2 x + a cos ⁡ x 2 + a x = 2 0 + 1 0 2 + 0 + 1 2 0 + a cos ⁡ 0 2 + a 0

= 1 1 a cos ⁡ 0 = 1 a 1

= 1 a

Boa, nós no enunciado tínhamos que o valor final do limite era 1 2 . Com isso, nós descobrimos o valor de a :

1 a = 1 2

a = 2

Resposta

a = 2

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Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim θ → π / 2⁡ 1 - s e n ( θ
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)