Determine as assíntotas horizontais e inclinadas (oblíquas) da curva y = f(x) onde

f(x) = (3x + e^(2x)) / (2x + e^(3x))

Passo 1

O cara só pediu assíntotas horizontais e olbíquas, ou seja, esquece as assíntotas verticais e as indeterminações! Vamos procurar primeiro horizontais em x → + ∞ e x → - ∞ .

lim x → + ∞ ⁡ 3 x + e 2 x 2 x + e 3 x = ∞ ∞

lim x → + ∞ ⁡ 3 x + e 2 x 2 x + e 3 x → L ' H lim x → + ∞ ⁡ 3 + 2 e 2 x 2 + 3 e 3 x = ∞ ∞

lim x → + ∞ ⁡ 3 + 2 e 2 x 2 + 3 e 3 x → L ' H lim x → + ∞ ⁡ 4 e 2 x 9 e 3 x = lim x → + ∞ ⁡ 4 9 e x = 0

Ok, temos uma assíntota horizontal em y = 0 quando x tende a + ∞ .

Passo 2

Vamos procurar em - ∞ :

lim x → - ∞ ⁡ 3 x + e 2 x 2 x + e 3 x = - ∞ - ∞

lim x → - ∞ ⁡ 3 x + e 2 x 2 x + e 3 x → L ' H lim x → + ∞ ⁡ 3 + 2 e 2 x 2 + 3 e 3 x

= 3 + 2 0 2 + 3 0

= 3 2

Outra assíntota horizontal em y = 3 2 quando x tende a - ∞ .

Passo 3

Como temos assíntotas horizontais para os dois lados ( ± ∞ ) concluímos que não existem assíntotas oblíquas.

Resposta

A s s í n t o t a s   h o r i z o n t a i s : y = 0 ; y = 3 2

A s s í n t o t a s   o b l í q u a s :   -

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