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Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Indeterminação ∞/∞ e 0/0

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Enunciado

2b) Calcule os seguintes limites:

lim t → 0 ⁡ e t - t g   t - 1 cos ⁡ 3 t - 1

Passo 1

Opa, vamos lá. A primeira coisa que a gente faz em qualquer limite é substituir e ver o que acontece:

lim t → 0 ⁡ e t - t g   t - 1 cos ⁡ 3 t - 1 = e 0 - t g   0 - 1 cos ⁡ 0 - 1 = 1 - 0 - 1 1 - 1 = 0 0

Xiii, indeterminação! E agora? Bem, essa indeterminação é do tipo 0 0 certo? Então da pra usar L’Hospital! Realizando LH então temos:

lim t → 0 ⁡ e t - t g   t - 1 cos ⁡ 3 t - 1 = lim t → 0 ⁡ e t - t g   t - 1 ' cos ⁡ 3 t - 1 ' = lim t → 0 ⁡ e t - sec 2 ⁡ t - 3 sin ⁡ 3 t

Substituindo então, vamos ter:

lim t → 0 ⁡ e t - sec 2 ⁡ t - 3 sin ⁡ 3 t = e 0 - sec 2 ⁡ 0 - 3 sin ⁡ 0 = 1 - 1 0 = 0 0

Eita ferro, indeterminação de novo? Isso mesmo. A parte boa é que a indeterminação é do mesmo tipo, então nada impede a gente de usar L’Hospital de novo! Bora lá então:

lim t → 0 ⁡ e t - sec 2 ⁡ t - 3 sin ⁡ 3 t = lim t → 0 ⁡ e t - sec 2 ⁡ t ' - 3 sin ⁡ 3 t ' = lim t → 0 ⁡ e t - 2 sec ⁡ t sec ⁡ t ' - 9 cos ⁡ 3 t = lim t → 0 ⁡ e t - 2 sec 2 ⁡ t tg ⁡ t - 9 cos ⁡ 3 t

Opa! Indeterminação sumiu em! Substituindo então:

lim t → 0 ⁡ e t - 2 sec 2 ⁡ t tg ⁡ t - 9 cos ⁡ 3 t = e 0 - 2 sec 2 ⁡ 0 tg ⁡ 0 - 9 cos ⁡ 0 = 1 - 2 ∙ 1 2 ∙ 0 - 9 = - 1 9

Resposta

lim t → 0 ⁡ e t - t g   t - 1 cos ⁡ 3 t - 1 = - 1 9

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Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim θ → π / 2⁡ 1 - s e n ( θ
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)