UFRJ – Cálculo 1 – Lista 10 – Questão 7b
Calcule os seguintes limites.
Passo 1
Note que aplicando o limite diretamente a gente vai ter uma indeterminação do tipo . Então o que podemos fazer aqui? TCHARAAAMMM! Regra do L’Hopital.
Essa regra diz que a gente pode ir derivando a função até que saiamos da indeterminação.
Passo 2
Antes de pensar no limite, vamos usar que :
Assim,
Desta forma, o limite que nos interessa é
Passo 3
Vamos fazer a mudança de variável . Assim, e quando , . Desta forma,
Quando , , assim o limite é uma indeterminação do tipo . Podemos reescrevê-lo como
Agora temos uma indeterminação do tipo 0/0: podemos aplicar a regra de L’Hospital!!!
Passo 4
Vamos calcular as derivadas do numerador e denominador separadamente para evitar confusão:
Assim, pela regra de L’Hospital:
Podemos aplicar L’Hospital novamente, porém isso não é necessário. Colocando em evidência:
Assim,
Resposta
.