Regra de L’Hospital
Calcule:
Passo 1
A primeira coisa que temos que fazer é substituir o valor de no limite
Isso dá uma indeterminação e nesse tipo de indeterminação podemos usar L’Hospital
Passo 2
Vamos usar L’Hospital
Para fazer essa derivada vamos usar a regra da cadeia nesses cossenos, vamos começar fazendo a derivada de , vamos chamar essa função de
Repara que temos duas funções, e isso nos diz que
Aplicando a regra da cadeia
Vamos derivar as duas funções
E a derivada de vai ficar
Vamos fazer a outra derivada agora , vamos fazer dessa vez
Ainda usando as funções de antes vamos ter
Aplicando a regra da cadeia
Vamos derivar as duas funções
E a derivada de vai ficar
Passo 3
Voltando ao limite
Podemos simplificar esse limite, sempre que aplicamos a regra de L’Hospital é bom dar uma arrumada na casa antes de olhar para esse limite de novo, isso vai ficar
Ainda está dando uma indeterminação, vamos aplicar L’Hospital de novo.
Passo 4
Primeiro vamos lembrar que isso vai ajudar nas derivadas
Aplicando L’Hospital vamos ter
Vamos resolver separado a derivada da parte de cima , primeiro vamos usar a regra do produto
Aquela derivada de nos vamos resolver como fizemos lá em cima no passo para
Vamos voltar a derivada, ela vai ficar
Passo 5
Voltando para o limite