5) Calcule cada um dos limites abaixo.

m) lim x → + ∞ ⁡ p x e x , onde p ( x ) é um polinômio

Passo 1

Fala aí, galerinha!! Nesse exercício nos deparamos com esse limite aqui

lim x → + ∞ ⁡ p x e x

E a única coisa que ele nos diz sobre aquele p ( x ) é que ele é um polinômio. Mas e aí??Bom para resolver isso, a gente lembra que um polinômio tem essa cara aqui:

5 x + 1 x 2 + 3 x - 2 2 x 6 + 7 x 5 - 2 x 3 - 3 x + 7

E por aí vai, um polinômio de ordem n vai ter uma forma geral assim:

p x = C n x n + C n - 1 x n - 1 + … + C 2 x 2 +   C 1 x + C

Onde esses C ? São números constantes... O que dá para a gente concluir disso? Bom quando tomamos o limite

l i m x → + ∞ p ( x )

Temos duas possibilidades, ou ele tende ao infinito, ou ele tende a um número qualquer,ok?

Então, temos duas possibilidades para esse limite aqui:

lim x → + ∞ ⁡ p x e x = p ∞ e ∞

Ou temos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ ou temos um número dividido por infinito que é 0.

Vamos desenvolver melhor a ideia dessa indeterminação!

Passo 2

Vamos pensar no pior caso:

lim x → + ∞ ⁡ p x e x = ∞ ∞

Esse tipo de indeterminação a gente pode usar a regra de L’Hospital

lim x → + ∞ ⁡ p x e x =   lim x → + ∞ ⁡ p x ' e x '

Mas olha só o que acontece. A derivada de um polinômio p ( x ) é sempre um polinômio de grau menor q ( x ) . Por exemplo:

x 2 - 5 x + 2 ' = 2 x - 5 x 7 + 3 x 4 + 5 x ' = 7 x 6 + 12 x 3 + 5

E a derivada de e x é a própria função e x .Então, dependendo do grau do meu polinômio p ( x ) a regra de L’Hospital vai resultar em um limite

lim x → + ∞ ⁡ p x e x =   lim x → + ∞ ⁡ q x e x

Que também pode dar uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ e aí vamos ter que usar a regra mais uma vez. Como podemos usar a regra de L’Hospital em sequência a gente vai ter que usar a regra até o polinômio se reduzir a uma constante e aí teremos

lim x → + ∞ ⁡ p x e x =   lim x → + ∞ ⁡ C e x = C e ∞ = C ∞ = 0

Então sempre o limite

lim x → + ∞ ⁡ p x e x

Vai resultar em 0 . Beleza??

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima?

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ p x e x =   0

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)