Encontre, se existirem, as assíntotas horizontas e verticais do gráfico da função.
Passo 1
Acho válido antes de partirmos para o vamos ver, dar uma relembrada nessas assíntotas. Sabemos que assíntotas são retas (verticais ou horizontais). Essas retas tem uma característica de a função sempre se aproximarem dela, mas nuca encostar-se a elas.
Exemplo de assíntotas:
Para checar as possíveis assíntotas verticais, sempre buscamos um ponto onde a função pode dar problema, como no exemplo esse ponto é o . E depois calculamos o limite de tendendo a esse ponto: se for pro infinito, aí sim temos uma assíntota vertical!
E pra checar as assíntotas horizontais, calculamos o limite da função indo para os infinitos. Se ela der um número então esse número será a assíntota (nesse exemplo aí, a assíntota horizontal é o .
Passo 2
Então primeiro calculemos as assíntotas verticais. Sabemos que a função que queremos no nosso caso...
Como o denominador não pode ser ...
Então é o nosso primeiro ponto a averiguar (então averiguemos tanto do lado direito quanto do lado esquerdo)...
e também
Passo 3
Para resolver esses limites, apenas note que quando vai para pela direita...
O vai a zero pelo lado dos positivos... Um número positivo dividido por quase positivo...
Quanto ao outro limite...
Bem, quando vai a do lado esquerdo o ln se aproxima de , mas pelos negativos, então...
Como os limites foram infinitos, é uma assíntota vertical ;)
Passo 4
Um outro ponto que também poderia ser problemático é o , pois sabemos que no , só podemos ter ...
Todavia, quando fazemos o limite desse cara indo à pela direita (o lado esquerdo o não existe)...
Passo 5
Agora então, vamos buscar as assíntotas horizontais. Para isso, basta a gente aplicar o limite de no infinito. Se aparecer algum número, esse número é a assíntota, saca?
Como o não existe nos negativos, basta aplicar o limite tendendo ao infinito positivo:
Como temos uma indeterminação do tipo , podemos aplicar L’Hopital:
Logo, não existe assíntotas horizontais ;)
Resposta
Assíntota vertical: