Calcule:

a   lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x

Passo 1

Vamos começar substituindo o valor de x nesse limite

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x = ln ⁡ + ∞ + ∞

Lembrando que ln ⁡ x vai para + ∞ quando x → + ∞ esse limite vai dar uma indeterminação do tipo ∞ ∞ .

Normalmente quando da essa indeterminação aplicamos o nosso amigo L’Hospital. Fica só atento que algumas vezes é mais fácil resolver sem L’Hospital. Mas nesse caso como temos o logaritmo ali vamos para o L’Hospital mesmo.

Passo 2

Aplicando L’Hospital, vamos derivar em cima e embaixo no quociente:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x → L ' H lim x → + ∞ ⁡ 1 x 1 2 x

= lim x → + ∞ ⁡ 2 x x =

Repara que

x = x 2

Então

= lim x → + ∞ ⁡ 2 x x 2 =

= lim x → + ∞ ⁡ 2 x → 2 ∞

= 0

É isso!

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x = 0

Exercícios de Livros Relacionados