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Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Indeterminação ∞/∞ e 0/0

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Cálculo 1, P4 - 2020.1, Questão 1

A sabendo que a , b são números reais não nulos. Sabendo que:

l i m x → 0 a x 2   + 7 x + s i n ( b x ) + s i n ( c x ) + s i n ( d x ) 5 x 2 + 7 x 4 + 5 x 5 = 6

O valor de a + b + c + d é:

  1. 20
  2. 16
  3. 23
  4. 25
  5. 18

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1. Dessa vez famos fazer uso da regra de L'Hopital!!! Lembram dela?

Ela diz que

l i m x → a f ( x ) g ( x ) = l i m x → a f ' ( x ) g ' ( x ) se f ( a ) = g ( a ) = 0   o u   ± ∞

Lembraram? Boa!

Nosso objetivo é descobrir qual a 0 valor de a + b + c + d sabendo que

l i m x → 0 a x 2   + 7 x + s i n ( b x ) + s i n ( c x ) + s i n ( d x ) 5 x 2 + 7 x 4 + 5 x 5 = 6

Como podemos começar? Falei que íamos usar L'Hôpital, então vamos verificar se vale a condição.

Calculando o numerador e denominador para x = 0 temos:

a x 2   + 7 x + s i n ( b x ) + s i n ( c x ) + s i n ( d x ) 5 x 2 + 7 x 4 + 5 x 5 = 0 0

Ou seja, vale a condição. Então podemos usar o teorema. E para isso vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador. Derivando o numerador temos:

d d x ( a x 2   + 7 x + s i n ( b x ) + s i n ( c x ) + s i n ( d x ) ) = 2 a x + 7 + b c o s ( b x ) + c c o s ( c x ) + d c o s ( d x )

Derivando o denominador temos:

d d x ( 5 x 2 + 7 x 4 + 5 x 5 ) = 10 x + 28 x 3 + 25 x 4

Então usando L'Hôpital

l i m x → a f ( x ) g ( x ) = l i m x → a f ' ( x ) g ' ( x )

⇒ l i m x → 0 a x 2   + 7 x + s i n ( b x ) + s i n ( c x ) + s i n ( d x ) 5 x 2 + 7 x 4 + 5 x 5 =   l i m x → 0 2 a x + 7 + b c o s ( b x ) + c c o s ( c x ) + d c o s ( d x ) 10 x + 28 x 3 + 25 x 4

Usando a linearidade do limite:

=   l i m x → 0 2 a x 10 x + 28 x 3 + 25 x 4 + l i m x → 0 7 + b c o s ( b x ) + c c o s ( c x ) + d c o s ( d x ) 10 x + 28 x 3 + 25 x 4

Resolvendo o limite da esquerda,

= a 5 + l i m x → 0 7 + b c o s ( b x ) + c c o s ( c x ) + d c o s ( d x ) 10 x + 28 x 3 + 25 x 4

Passo 2

No passo anterior, chegamos a conclusão que

l i m x → 0 a x 2   + 7 x + s i n ( b x ) + s i n ( c x ) + s i n ( d x ) 5 x 2 + 7 x 4 + 5 x 5 = a 5 + l i m x → 0 7 + b c o s ( b x ) + c c o s ( c x ) + d c o s ( d x ) 10 x + 28 x 3 + 25 x 4

Agora vem uma parte crucial, note que o limite que sobrou para calcularmos depende dos valores de b   , c   , d   . Pois como o enunciado diz que o limite original é igual a 6 , então esse limite

l i m x → 0 7 + b c o s ( b x ) + c c o s ( c x ) + d c o s ( d x ) 10 x + 28 x 3 + 25 x 4

tem que ser limitado. E qual é a condição para isso ocorrer? Bem, Como os cossenos são funções limitadas, ao dividirmos por algo que converge para zero quando aplicamos o limite, esse limite vai para infinito. Logo a única maneira de termos algo que seja finito é esse numerador também ser zero, para podermos aplicar a regra de L'Hopital. E o que precisamos para que

7 + b c o s ( b x ) + c c o s ( c x ) + d c o s ( d x ) = 0 ,   q u a n d o   x = 0 ?

Precisamos que:

7 + b + c + d = 0

⇔ b + c + d = - 7

Olha só, já achamos uma porção da soma que queremos calcular. Pois bem, se estamos supondo que

b + c + d = - 7

Então podemos usar o L'Hopital mais uma vez.

Passo 3

Usando L'Hopital em

a 5 + l i m x → 0 7 + b c o s ( b x ) + c c o s ( c x ) + d c o s ( d x ) 10 x + 28 x 3 + 25 x 4

Vamos começar calculando a derivada do numerador

d d x ( 7 + b c o s ( b x ) + c c o s ( c x ) + d c o s ( d x ) ) = - b 2 s i n ( b x ) - c 2 s i n ( c x ) - d 2 s i n ( d x )

Calculando a derivada do denominador:

d d x ( 10 x + 20 x 3 + 25 x 4 ) = 10 + 108 x 2 + 100 x 3

Logo, o nosso limite fica

a 5 + l i m x → 0 7 + b c o s ( b x ) + c c o s ( c x ) + d c o s ( d x ) 10 x + 28 x 3 + 25 x 4 = a 5 + l i m x → 0 - b 2 s i n ( b x ) - c 2 s i n ( c x ) - d 2 s i n ( d x ) ) 10 + 108 x 2 + 100 x 3

Mas o limite agora está mais fácil de calcular, basta fazermos a substituição direta do valor de x no limite, já que a função é contínua nesse ponto.

l i m x → 0 - b 2 s i n ( b x ) - c 2 s i n ( c x ) - d 2 s i n ( d x ) ) 10 + 108 x 2 + 100 x 3 = 0 10

= 0

Ou seja, concluímos que

l i m x → 0 a x 2   + 7 x + s i n ( b x ) + s i n ( c x ) + s i n ( d x ) 5 x 2 + 7 x 4 + 5 x 5 = a 5

Mas o enunciado diz que

l i m x → 0 a x 2   + 7 x + s i n ( b x ) + s i n ( c x ) + s i n ( d x ) 5 x 2 + 7 x 4 + 5 x 5 = 6

Então, pela unicidade do limite.

a 5 = 6

⇒ a = 30

E como descobrimos no passo anterior que

b + c + d = - 7

Então

a + b + c + d = 23

Resultado presente na alternativa c )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima quest��o e bons estudos!!!! 😊

Resposta

c )

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Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim θ → π / 2⁡ 1 - s e n ( θ
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)