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Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Indeterminação ∞/∞ e 0/0

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Enunciado

UFF, Cálculo IA-Lista 4, GMA, 2008-1, Questão 32

Verifique se a função dada tem extensão contínua em toda reta R .

f x = - 1 + sen ⁡ x x - π 2

Passo 1

A função terá extensão contínua se o limite existir no ponto de restrição do domínio. Vamos calcular o limite para x = π 2 , onde o denominador zera:

lim x → π 2 ⁡ - 1 + sen ⁡ x x - π 2

Passo 2

Só que esse limite dá uma indeterminação 0 / 0

lim x → π 2 ⁡ - 1 + sen ⁡ x x - π 2 = - 1 + 1 π 2 - π 2 = 0 0

Pra resolver essa indeterminação parece que a gente buscar o limite fundamental s e n ( a ) / a .

Passo 3

Como no denominador tem x - π / 2 , talvez seja interessante fazer aparecer esse cara em cima. Pra isso vamos fazer uma substituição

u = x - π 2 → x = u + π 2

E quando x vai para π / 2 vamos ter u indo pra 0 .

O nosso seno do numerador vai ficar

s e n x = s e n u + π 2 = s e n u cos ⁡ π 2 + s e n π 2 cos ⁡ u

s e n x = cos ⁡ u

Assim o nosso limite fica

lim u → 0 ⁡ - 1 + cos ⁡ u u

Passo 4

Agora a gente ficou com um cosseno no numerado -.-

Pra se livrar dele a gente pode multiplicar e dividir por 1 + cos ⁡ u , assim

lim u → 0 ⁡ - 1 + cos ⁡ u u   1 + cos ⁡ u 1 + cos ⁡ u = lim u → 0 ⁡ cos 2 ⁡ u - 1 u 1 + cos ⁡ u

Aí agora tem mais um pouquinho de trigonometria rsrsrs

s e n 2 u + cos 2 ⁡ u = 1 → cos 2 ⁡ ( u ) - 1 = - s e n 2 ( u )

Assim

lim u → 0 ⁡ - 1 + cos ⁡ u u = lim u → 0 ⁡ - s e n 2 ( u ) u 1 + cos ⁡ u = - lim u → 0 ⁡ s e n ( u ) u lim u → 0 ⁡ s e n ( u ) 1 + cos ⁡ u

lim u → 0 ⁡ - 1 + cos ⁡ u u = - 1 × 0 1 + 1 = 0

Portanto, o limite existe e é igual a 0 . Temos extensão contínua com f x = 0 no ponto x = π 2 .

Resposta

S i m

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Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim θ → π / 2⁡ 1 - s e n ( θ
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)