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Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 2 de Exercícios, Questão 10c.

10. (1EE-2017.2-Adaptada) Calcule as derivadas das seguintes funções:

c) h x = t g x · ln ⁡ s e n x + 1 + e x

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos calcular a derivada da função h x = t g x · ln ⁡ s e n x + 1 + e x .

Como fazemos isso? 👀

Olhando para h x , vemos que se trata da o produto de outras duas funções, então em um primeiro momento, poderíamos aplicar a regra do produto que diz

h x = f x g x → h ' x = f ' x g x + f x g ' x

porém, podemos ver que o segundo termo é uma função composta, portanto para esses casos, podemos aplicar a regra da cadeia, dada por

g x = p q x → g ' x = q ' x p ' q x

Vamos ver como essas aplicações ficam no nosso caso! 😉

Passo 2

Primeiro, pela regra do produto, temos

h ' x = d t g x d x · ln ⁡ s e n x + 1 + e x + t g x · d ln ⁡ s e n x + 1 + e x d x

Porém, como ln ⁡ s e n x + 1 + e x é uma função composta, então pela regra da cadeia esse termo é dado por

d ln ⁡ s e n x + 1 + e x d x = d s e n x + 1 + e x d x d ln ⁡ s e n x + 1 + e x d s e n x + 1 + e x

Substituindo s e n x + 1 + e x por uma variável na segunda derivada, temos

d ln ⁡ s e n x + 1 + e x d x = d s e n x + 1 + e x d x d ln ⁡ u d u

E também, como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, então

d ln ⁡ s e n x + 1 + e x d x = d s e n x d x + d 1 + e x d x d ln ⁡ u d u

Antes de substituir esse termo em h ' x , perceba que 1 + e x também é uma função composta, então para ele temos que aplicar a regra da cadeia novamente...

d ln ⁡ s e n x + 1 + e x d x = d s e n x d x + d 1 + e x d x d 1 + e x d 1 + e x d ln ⁡ u d u

Substituindo 1 + e x por v na derivada de 1 + e x , temos

d ln ⁡ s e n x + 1 + e x d x = d s e n x d x + d 1 + e x d x d v d v d ln ⁡ u d u

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Substituindo esse termo em h ' x , temos

h ' x = d t g x d x · ln ⁡ s e n x + 1 + e x + t g x · d ln ⁡ s e n x + 1 + e x d x

h ' x = d t g x d x · ln ⁡ s e n x + 1 + e x + t g x · d s e n x d x + d 1 + e x d x d v d v d ln ⁡ u d u

Pela regra de derivação polinomial, a derivada de v é

d v d v = 1 2 v

Já pelo teorema fundamental do cálculo, as derivadas de t g x , s e n x , 1 + e x e ln ⁡ u são

d t g x d x = s e c 2 x

d s e n x d x = cos ⁡ x

d 1 + e x d x = e x

d ln ⁡ u d u = 1 u

Substituindo os resultados em h ' x

h ' x = s e c 2 x · ln ⁡ s e n x + 1 + e x + t g x · cos ⁡ x + e x 1 2 v 1 u  

Simplificando e substituindo u e v no domínio de x de volta, temos

h ' x = s e c 2 x ln ⁡ s e n x + 1 + e x + cos ⁡ x + e x 1 2 1 + e x t g x s e n x + 1 + e x  

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

h ' x = s e c 2 x ln ⁡ s e n x + 1 + e x + t g x cos ⁡ x + e x 1 2 1 + e x 1 s e n x + 1 + e x

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