2. Assuma que f e g sejam funções diferenciáveis em R e defina F(x) = f(x) * e^(g(x)) para todo x ∈ R . Sabendo que f(0) = 1 , f'(0) = 2 , g(0) = ln(2) e g'(0) = 2 , calcule F' (0) .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Em resumo o problema nos pede para acharmos a derivada de F x no ponto zero. Então a primeira coisa que vamos fazer é derivar F ( x ) .

O problema disse que

F x = f x e g x

Repara que temos uma multiplicação de duas funções. Logo, para fazermos essa derivada, vamos usar a regra da produto.

Bora lá!

Passo 2

Relembrando a regra do produto, temos que

F x = f x g x → F ' x = f ' x g x + f x g ' x

Aplicando para a nossa função, ficamos com

F ' x = f ' x e g x + f x g ' x e g x

Mas ainda não acabamos, precisamos achar a derivada no ponto zero.

Passo 3

Calculando F ' 0 , temos

F ' 0 = f ' 0 e g 0 + f 0 g ' 0 e g 0

Segundo o enunciado, temos

f 0 = 1

f ' 0 = 2

g 0 = ln ⁡ 2

g ' 0 = 2

Substituindo, temos

F ' 0 = 2 e ln ⁡ 2 + ( 1 ) ( 2 ) e ln ⁡ 2  

Aplicando a propriedade logarítmica temos

F ' 0 = 2 2 + 2 2

F ' 0 = 8

Resposta

8

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